数列的存在性问题

数列中的一类存在性问题执教者：罗建宇（江苏省张家港市暨阳高级中学）题组一1设等差数列的前项和为且（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）（2），要使得成等差数列，则即： 即：，只能取2，3，5 当时，；当时，；当时，【注】“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决2（09年江苏卷17）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式为，前n项和(2) =，若其是中的项，则， 令，则=, 即： 所以为8的约数 因为是奇数，所以可取的值为，当，即时，；当，即时，（舍去）所以满足条件的正整数【注】不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析3 （南通市2013届高三期末）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1； （2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由【解析】（1）令n=1，则a1=S1=0 （2）由，即， 得 ，得 于是， +，得，即又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 （3）解法1：假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 时，0，故数列( )为递减数列，时，2m-2n-1，2m+2n-30，解得m=12，n=11 （3）由an+bp，得a(n1)+bp若a0，则n+1不等式an+bp成立的最大正整数解为3p2，3p2+13p1， 即2ab(3a1)p3ab对任意正整数p都成立3a1=0，解得a=， 此时，b01b，解得b1故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=，b16（徐州市2013届高三期末）已知且令且对任意正整数，当时，当时，（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的正整数，恒成立，问是否存在使得为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数且求数列的通项公式解：（1）当时， 且，所以，又当时，且， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， （2）因为，所以，所以，假设存在，使得为等比数列，则，故，化简得，与题中矛盾，故不存在，使得为等比数列 （3）因为，所以又，所以，所以 由（1）知，所以， 所以，