漓江学院近世代数试卷

。整完卷试持保意注请.，面背卷试到写可，时足不空留题答.，题答笔铅用使能不，外图画除，迹字色红现出得不题答生考 线封密订装:业专 ：级年 ：系院属所 ：名姓 ：号学题号一二三四五总分统分人签字满分得分广西师范大学漓江学院试卷（2010 2011学年第一学期）课程名称：近世代数课程序号：开课院系：理学系任课教师：陈迪三年级、专业：08数学 考试时间：120分钟考核方式：闭卷开卷口试卷类型：A卷口 B卷C卷口得分一、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） （正确的打“ J”，错的打“ X”）。1 .任何集合与它的一个真子集之间都不存在一一映射。（）2.群G的两个子群的交与并仍是G的子群。（）3 .有理数全体Q对于在数的乘法下构成群。（）4. 循环群的同态像仍然是循环群。（）5. 如果循环群G = O中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构（）6. 无零因子环的同态象无零因子。（）7. 由素数p所生成的主理想（p） 一定是最大理想。（）8. 模47的剩余类环Z47无零因子。（）9. 整环I中非零非单位的元一定有唯一分解（）10. 在整环I中，单位元与单位等价。（）二、填空题（本大题共7小题，每空2分，共20分）（请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分）。1.如果集合A的元间的一个等价关系，在这个等价关系下，a, Z是两个等价类，a=W 的充要条件是 A的元素a所在的等价类a =。2规定R的运算 为a b = 2ab（等号右边的运算是普通乘法），则对于结合律和交换律而言，这个运算满足。3. n次对称群S的阶是。系主任（签字）:教研室主任（签字）：4. 特征为p的交换环R中，（a一。）p =。5假定R是有单位元的交换环，I是R的一个理想，则RI是域的充要条件是：。6. 设I是有单位元环R的元a生成的主理想，则/中的元可表示为。7. 整环I = a + bM其中a,是整数不是唯一分解整环，因为它的元素a=在I中有两种本质不同的分解a =。三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）得分1.求模15的剩余类加群,的所有非平凡子群。得分2.设Z6 = 0,1,2,3,4,5是模 6 的剩余类环，且 f (x),g(x) g Z6x如果 f (x) = 3x3 + 5x + 2, g(x) = 4x2 + 5x + 3，求：f (x) + g(x) ， f (x)g(x)。得 分四、证明题(本大题共4小题，每小题11分，共44分)(注：答题写不完可写在试卷背面)得分1设G是群，x是G的固定元素，在G中定义运算 : (Va,b g G)ab = axb证明：(G,物是群。得分|2.设(Z, +)是通常的整数加群，在Z上定义一个新的运算如下：对任意的a, b g Z 规定：a b = a + b -1。证明：(1) (Z, )是一个交换加群；(2) 设：(Z,+) t (Z,)，其中对任意的a g Z，4 (a) = a +1,则是同构映射。得分|3.设R1, R2都是环，f是环R 1到气的同态满射，B是R2的理想，证明:A = a I a g R1, f (a) g B是 R 1 的理想。得分4. I是刚好包含所有复数a + bi (a,b是整数)的整环。证明5不是I的素元；5有没有唯一分解。第5页共4页