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第9节函数模型及其应用,最新考纲1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.,知 识 梳 理,1.指数、对数、幂函数模型性质比较,递增,递增,y轴,x轴,2.几种常见的函数模型,微点提醒,1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.() (2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大.(),(4)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度.(),(2)中，当x2时，2xx24.不正确.,答案(1)(2)(3)(4),2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：,则对x，y最适合的拟合函数是() A.y2x B.yx21 C.y2x2 D.ylog2x,解析根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意. 答案D,3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)() A.2020年 B.2021年C.2022年 D.2023年,解析设经过n年资金开始超过200万元，即130(112%)n200. 两边取对数，得nlg1.12lg 2lg 1.3，,从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 答案B,A.36万件 B.18万件 C.22万件 D.9万件,答案B,5.(2018黄冈检测)已知f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(),A.f(x)g(x)h(x) B.g(x)f(x)h(x) C.g(x)h(x)f(x) D.f(x)h(x)g(x) 解析在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x(4，)时，增长速度由大到小依次g(x)f(x)h(x). 答案B,6.(2019北京海淀区月考)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元.销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为yalog4xb.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为_万元.,答案1 024,考点一利用函数的图象刻画实际问题,【例1】 (2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.,根据该折线图，下列结论错误的是() A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳,解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误. 答案A,规律方法1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案. 2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.,【训练1】 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是(),解析vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B. 答案B,考点二已知函数模型求解实际问题,(1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.,此时x5，因此f(x)的最小值为70. 隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.,规律方法1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.,解设该服装厂所获效益为f(x)元，,所以当x20时，f(x)有最大值120 000.,令f(x)0，x80. 当200，f(x)单调递增，当80 x180时，f(x)0，f(x)单调递减， 所以当x80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000. 由于120 000240 000. 故该服装厂所获得的最大效益是240 000元.,考点三构造函数模型求解实际问题多维探究 角度1二次函数、分段函数模型,【例31】 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年. (1)当0x20时，求函数v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.,解(1)由题意得当0x4时，v2，当4x20时，设vaxb(a0)， 显然vaxb在(4，20内是减函数，,(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，,当0x4时，f(x)为增函数， 故f(x)maxf(4)428；,所以当0x20时，f(x)的最大值为12.5. 故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.,角度2构建指数(对数)型函数模型,(1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？,解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1)，,故到今年为止，该森林已砍伐了5年.,规律方法1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化. 2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点： 分段要简洁合理，不重不漏；分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.,【训练3】 (1)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为() A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3,A.1033 B.1053 C.1073 D.1093,解析(1)设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，,则10m(x10)2m16m，解得x13.,答案(1)A(2)D,思维升华,解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题.,以上过程用框图表示如下：,易错防范 1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯. 2.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系. 3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.,
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