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第2课时定点、定值、开放问题,考点一定点问题,(2)法一易知直线l的斜率存在，设直线l：ykxm.,依题意得(8km)24(34k2)(4m212)0，即34k2m2.,综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).,得(x0t)(4t)33x00，即x0(1t)t24t30. 由x0的任意性，得1t0且t24t30，解得t1. 综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).,规律方法圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.,【训练1】 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点. (1)求抛物线C的方程； (2)若点B(1，2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，如kBPkBQ2，求证：直线PQ过定点.,(1)解若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2ax，代入点A(1，2)，可得a4，所以抛物线方程为y24x.,(2)证明因为点B(1，2)在抛物线C上，所以由(1)可得抛物线C的方程是y24x. 易知直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y2k(x1)， 将直线BP的方程代入y24x，消去y，得k2x2(2k24k4)x(k2)20.,在上述方程中，令x3，解得y2，所以直线PQ恒过定点(3，2).,考点二定值问题,(1)证明k1，k2均存在，x1x20.,(2)解当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，,当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb.,其中(8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0，即b214k2.,综合知POQ的面积S为定值1.,规律方法圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 引起变量法：其解题流程为,【训练2】 (2019青岛调研)已知直线l过抛物线C：x22py(p0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若点P(2，2)，过点(2，4)的直线m与抛物线C相交于A，B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证：k1k2为定值，并求出此定值.,(1)解由题意可知，2p2，解得p1，则抛物线的方程为x22y. (2)证明由题易知直线m的斜率存在， 设直线m的方程为y4k(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，,联立抛物线x22y与直线y4k(x2)的方程消去y得x22kx4k80， 其中4(k24k8)0恒成立， 可得x1x22k，x1x24k8，则k1k21. 因此k1k2为定值，且该定值为1.,考点三开放问题,(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称. 当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t，0)满足条件， 设l的方程为yk(x1)，R(x1，y1)，S(x2，y2).,其中0恒成立， 由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTSkTR0(显然TS，TR的斜率存在)，,因为R，S两点在直线yk(x1)上， 所以y1k(x11)，y2k(x21)，代入得,即2x1x2(t1)(x1x2)2t0， 将代入得,则t4， 综上所述，存在T(4，0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称.,规律方法此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.,当m0时，显然不合题意. 当m0时，直线l与圆x2y21相切，,思维升华 1.有关弦的三个问题 (1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解. 2.求解与弦有关问题的两种方法 (1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.,(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式是否为正数. 易错防范 1.求范围问题要注意变量自身的范围. 2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系、特殊位置的应用. 3.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.,
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