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第7节抛物线,考试要求1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.,知 识 梳 理,1.抛物线的定义,(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离_的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的_. (2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).,相等,准线,2.抛物线的标准方程与几何性质,微点提醒,1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),解析(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.,(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案(1)(2)(3)(4),2.(选修21P72A1改编)顶点在原点，且过点P(2，3)的抛物线的标准方程是_.,3. (选修21P67A3改编)抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点的个数为_.,答案2,4.(2019黄冈联考)已知方程y24x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线xm的距离为4，则m的值为() A.5 B.3或5 C.2或6 D.6 解析抛物线y24x的焦点为F(1，0)，它与直线xm的距离为d|m1|4， m3或5. 答案B,5.(2019北京海淀区检测)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是() A.4 B.6 C.8 D.12,解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点，过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.故选B. 答案B,6.(2019宁波调研)已知抛物线方程为y28x，若过点Q(2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_. 解析设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，显然满足题意；当k0时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范围是1，1. 答案1，1,考点一抛物线的定义及应用,答案(1)B(2)A,【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_. (2)(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.,解析(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.,(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P， PMOF. 由题意知，F(2，0)，|FO|AO|2. 点M为FN的中点，PMOF，,又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3. 由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6. 答案(1)y24x(2)6,考点二抛物线的标准方程及其性质,解析(1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，,(2)由题意，知直线AB必过原点， 则设AB的方程为ykx(易知k0)，,答案(1)C(2)C,规律方法1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,【训练2】 (1)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_.,(2)(2019济宁调研)已知点A(3，0)，过抛物线y24x上一点P的直线与直线x1垂直相交于点B，若|PB|PA|，则P的横坐标为(),解析(1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，,故|AC|2|AA1|6，从而|BF|1，|AB|4，,答案(1)y23x(2)C,考点三直线与抛物线的综合问题 【例3】 (2019武汉调研)已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N. (1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值； (2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.,解(1)可设AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将AB的方程代入抛物线C，得x22pkx2p0，显然方程有两不等实根， 则x1x22pk，x1x22p.,故抛物线C的方程为x24y.,规律方法1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,【训练3】 (2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为() A.16 B.14 C.12 D.10,同理得|DE|44k2，,故|AB|DE|的最小值为16. 答案A,思维升华 1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率). 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px (p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：,易错防范 1.认真区分四种形式的标准方程 (1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.,数学抽象活用抛物线焦点弦的四个结论,1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一. 2.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则,【例1】 过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于(),一般解法易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为yk(x1).,得xAxB1， 因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得xA12(xB1)， 即xA2xB1，,应用结论法一由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E， 设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，,答案B,【例2】 设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为(),答案D,【例3】 (2019益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为(),一般解法如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AD|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.,答案C,
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