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第5节空间直角坐标系与空间向量,考试要求1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.,知 识 梳 理,1.空间向量的有关概念,大小,方向,相同,相等,相反,相等,平行,重合,同一个平面,2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得_. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在_的有序实数对(x，y)，使p_. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_，其中，a，b，c叫做空间的一个基底.,ab,唯一,xayb,xaybzc,3.空间向量的数量积及运算律,非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b. (2)空间向量数量积的运算律： 结合律：(a)b(ab)； 交换律：abba； 分配律：a(bc)abac.,0，,互相垂直,4.空间向量的坐标表示及其应用,设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3,a1b1a2b2a3b30,微点提醒,3.向量的数量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立. 4.若向量的投影向量是，则向量与向量垂直，当向量与向量起点相同时，终点间的距离最小.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)空间中任意两非零向量a，b共面.() (2)对任意两个空间向量a，b，则ab0，则ab.() (3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.() (4)若ab0，则a，b是钝角.() 解析对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若a，b，则ab0，故(4)不正确. 答案(1)(2)(3)(4),答案A,3.(选修21P118A6改编)已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是_.,解析ab(cos sin ，2，cos sin )， ab(cos sin ，0，sin cos )， (ab)(ab)(cos2 sin2 )(sin2 cos2 )0，,4.(2018济宁一中月考)在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是() A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直,答案B,5.(2019北京四中月考)已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，则|b|_.,解析ab2(4)321x0，x2，,考点一空间向量的线性运算,(2)因为M是AA1的中点，,规律方法(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. 提醒空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.,考点二共线定理、共面定理的应用 【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)BD平面EFGH.,因为E，H，B，D四点不共线， 所以EHBD. 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD平面EFGH.,考点三空间向量的数量积及其应用多维探究 角度1数量积的坐标运算 【例31】 已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5).,角度2数量积的线性运算典例迁移 【例32】 (经典母题)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，,【迁移探究1】 本例的条件不变，求证：EGAB.,【迁移探究2】 本例的条件不变，求EG的长.,【迁移探究3】 本例的条件不变，求异面直线AG和CE所成角的余弦值.,【训练3】 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.,(1)求AC1的长； (2)求证：AC1BD； (3)求BD1与AC夹角的余弦值.,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，,思维升华 1.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键. 2.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.,
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