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第3节直线、平面平行的判定及性质,考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理;2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.,知 识 梳 理,1.直线与平面平行,(1)直线与平面平行的定义 直线l与平面没有公共点,则称直线l与平面平行.,(2)判定定理与性质定理,一条直线与此平面内的一条直线,交线,2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理,相交直线,平行,交线,微点提醒,平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a,a,则. (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若,则. (3)两个平面平行,则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.() (2)若直线a平面,P,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.() (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.() (4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(),解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故(1)错误. (2)若a,P,则过点P且平行于a的直线只有一条,故(2)错误. (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故(3)错误. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修2P61A1(2)改编)下列说法中,与“直线a平面”等价的是() A.直线a上有无数个点不在平面内 B.直线a与平面内的所有直线平行 C.直线a与平面内无数条直线不相交 D.直线a与平面内的任意一条直线都不相交 解析因为a平面,所以直线a与平面无交点,因此a和平面内的任意一条直线都不相交,故选D. 答案D,3.(必修2P61A1(1)改编)下列命题中正确的是() A.若a,b是两条直线,且ab,那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面满足a,那么a与内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面满足ab,a,b,则b 解析根据线面平行的判定与性质定理知,选D. 答案D,4.(2018长沙模拟)已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是() A.m,n,则mn B.mn,m,则n C.m,m,则 D.,则 解析A中,m与n平行、相交或异面,A不正确;B中,n或n,B不正确;根据线面垂直的性质,C正确;D中,或与相交,D错. 答案C,5.(2019济宁月考)若平面平面,直线a平面,点B,则在平面内且过B点的所有直线中() A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线 解析当直线a在平面内且过B点时,不存在与a平行的直线,故选A. 答案A,6.(2019北京十八中开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为_.,解析平面ABFE平面DCGH, 又平面EFGH平面ABFEEF, 平面EFGH平面DCGHHG, EFHG.同理EHFG, 四边形EFGH是平行四边形. 答案平行四边形,考点一与线、面平行相关命题的判定,【例1】 (1)在空间中,a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是() A.若ac,bc,则ab B.若a,b,则ab C.若a,b,则ab D.若,a,则a,(2)(2019聊城模拟)下列四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,则能得出平面ABC平面DEF的是(),解析(1)对于A,若ac,bc,则a与b可能平行、异面、相交,故A是假命题; 对于B,设m,若a,b均与m平行,则ab,故B是假命题; 对于C,a,b可能平行、异面、相交,故C是假命题; 对于D,若,a,则a与没有公共点,则a,故D是真命题.,(2)在B中,如图,连接MN,PN,,A,B,C为正方体所在棱的中点,ABMN,ACPN, MNDE,PNEF,ABDE,ACEF, ABACA,DEEFE,AB,AC平面ABC,DE,EF平面DEF, 平面ABC平面DEF. 答案(1)D(2)B,规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项. 2.(1)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情况,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.,【训练1】 (1)下列命题正确的是() A.若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行 B.若一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行 C.若一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行,解析(1)A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交;对于B选项,如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等,但这两个平面垂直;D选项中两平面也可能相交.C正确.,(2)如图,对于,连接MN,AC,则MNAC,连接AM,CN, 易得AM,CN交于点P,即MN平面APC,所以MN平面APC是错误的. 对于,由知M,N在平面APC内,由题易知ANC1Q,且AN平面APC,C1Q平面APC.,所以C1Q平面APC是正确的. 对于,由知,A,P,M三点共线是正确的. 对于,由知MN平面APC,又MN平面MNQ, 所以平面MNQ平面APC是错误的. 答案(1)C(2),考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究 角度1直线与平面平行的判定,【例21】 (2019东北三省四市模拟)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PAAB1.,(1)证明:EF平面PDC; (2)求点F到平面PDC的距离.,(1)证明取PC的中点M,连接DM,MF, M,F分别是PC,PB的中点,,E为DA的中点,四边形ABCD为正方形,,MFDE,MFDE,四边形DEFM为平行四边形, EFDM,EF平面PDC,DM平面PDC, EF平面PDC.,(2)解EF平面PDC, 点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.,PA平面ABCD,PACB,CBAB,PAABA,CB平面PAB,,连接EP,EC,易知VEPDCVCPDE,设E到平面PDC的距离为h, CDAD,CDPA,ADPAA,CD平面PAD,,角度2直线与平面平行性质定理的应用 【例22】 (2018上饶模拟)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为2,E,F分别是棱DD1,C1D1的中点.,(1)求三棱锥B1A1BE的体积; (2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行,如果平行,请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线,并说明理由.,(2)B1F平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H,连BH交CD于点G,则BG就是所求直线.证明如下: 因为BA1平面CDD1C1,平面A1BH平面CDD1C1GE, 所以A1BGE. 又A1BCD1,所以GECD1. 又E为DD1的中点,则G为CD的中点. 故BGB1F,BG就是所求直线.,规律方法1.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线. 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反.,【训练2】 (2017江苏卷)如图,在三棱锥ABCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.,求证:(1)EF平面ABC; (2)ADAC.,证明(1)在平面ABD内,ABAD,EFAD, 则ABEF. AB平面ABC,EF平面ABC, EF平面ABC. (2)BCBD,平面ABD平面BCDBD,平面ABD平面BCD,BC平面BCD, BC平面ABD. AD平面ABD,BCAD. 又ABAD,BC,AB平面ABC,BCABB, AD平面ABC, 又因为AC平面ABC,ADAC.,考点三面面平行的判定与性质典例迁移 【例3】 (经典母题)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:,(1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1平面BCHG.,证明(1)G,H分别是A1B1,A1C1的中点, GH是A1B1C1的中位线,则GHB1C1. 又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四点共面. (2)E,F分别为AB,AC的中点,EFBC, EF平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG. 又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1綉AB,A1G綉EB, 四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB. A1E平面BCHG,GB平面BCHG, A1E平面BCHG.又A1EEFE, 平面EFA1平面BCHG.,【迁移探究1】 在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证:平面A1BD1平面AC1D.,证明如图所示,连接A1C交AC1于点M, 四边形A1ACC1是平行四边形,M是A1C的中点,连接MD, D为BC的中点,A1BDM. A1B平面A1BD1,DM平面A1BD1,DM平面A1BD1, 又由三棱柱的性质知,D1C1綉BD, 四边形BDC1D1为平行四边形,DC1BD1. 又DC1平面A1BD1,BD1平面A1BD1,DC1平面A1BD1, 又DC1DMD,DC1,DM平面AC1D, 因此平面A1BD1平面AC1D.,解连接A1B交AB1于O,连接OD1.,规律方法1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 2.面面平行条件的应用 (1)两平面平行,分析构造与之相交的第三个平面,交线平行. (2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行,需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.,【训练3】 (2019南昌二模)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,ABCD,ABAD,AB2CD2AD4,侧面PAB是等腰直角三角形,PAPB,平面PAB平面ABCD,点E,F分别是棱AB,PB上的点,平面CEF平面PAD.,(1)确定点E,F的位置,并说明理由; (2)求三棱锥FDCE的体积.,解(1)因为平面CEF平面PAD,平面CEF平面ABCDCE, 平面PAD平面ABCDAD, 所以CEAD,又ABDC, 所以四边形AECD是平行四边形,,即点E是AB的中点. 因为平面CEF平面PAD,平面CEF平面PABEF,平面PAD平面PABPA, 所以EFPA,又点E是AB的中点, 所以点F是PB的中点. 综上,E,F分别是AB,PB的中点.,(2)连接PE,由题意及(1)知PAPB,AEEB, 所以PEAB,又平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB, 所以PE平面ABCD. 又ABCD,ABAD,,思维升华 1.转化思想:三种平行关系之间的转化,其中线面平行是核心,线线平行是基础,要注意它们之间的灵活转化. 2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面面平行的性质.,3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a,a. 易错防范 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. 2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件. 3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,易误认为这两个平面平行,实质上也可以相交. 4.运用性质定理,要遵从由“高维”到“低维”,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.,
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