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第1节空间几何体的结构及其表面积、体积,考试要求1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题；3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.,知 识 梳 理,1.空间几何体的结构特征,(1)多面体的结构特征,平行,全等,平行,相似,平行且相等,一点,一点,平行四边形,三角形,梯形,(2)旋转体的结构特征,垂直,一点,一点,矩形,等腰三角形,等腰梯形,圆,矩形,扇形,扇环,2.直观图,空间几何体的直观图常用_画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为_，z轴与x轴、y轴所在平面_. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别_坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度_，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的_.,斜二测,45(或135),垂直,平行于,不变,一半,3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式,2rl,rl,(r1r2)l,4.空间几何体的表面积与体积公式,S底h,4R2,微点提醒,1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点. 2.正方体的棱长为a，球的半径为R，则与其有关的切、接球常用结论如下 ：,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.() (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.() (3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.() (4)锥体的体积等于底面面积与高之积.(),解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.,(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥. (3)用斜二测画法画水平放置的A时，把x，y轴画成相交成45或135，平行于x轴的线段还平行于x轴，平行于y轴的线段还平行于y轴，所以A也可能为135. (4)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修2P10B1改编)如图，长方体ABCDABCD被截去一部分，其中EHAD.剩下的几何体是(),A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱. 答案C,3.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(),解析由题意，得S表r2rlr2r2r3r212，解得r24，所以r2(cm). 答案B,4.(2016全国卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(),答案A,5.(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(),答案B,6.(2019菏泽一中月考)用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为_.,考点一空间几何体的结构特征,【例1】 (1)给出下列命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3,(2)给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 存在每个面都是直角三角形的四面体； 棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是_.,解析(1)不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.,(2)不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知.,答案(1)A(2),规律方法1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例. 2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系. 3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.,【训练1】 下列命题正确的是(),A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形,解析如图所示，可排除A，B选项.只有截面与圆柱的母线平行或垂直，则截得的截面为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分. 答案C,考点二空间几何体的直观图 【例2】 已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为(),解析如图所示的实际图形和直观图.,答案D,【训练2】 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(),解析恢复后的原图形为一直角梯形，,答案A,考点三空间几何体的表面积 【例3】 (1)若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其全面积为_. (2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积为_(结果中保留). (3)如图直平行六面体的底面为菱形，若过不相邻两条侧棱的截面的面积分别为Q1，Q2，则它的侧面积为_.,解析(1)因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图.,由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，,(2)如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180，所以CSA.,又C21020，所以SA20. 同理SB40. 所以ABSBSA20.,故圆台的表面积为1 100 cm2.,规律方法1.求解有关多面体侧面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. 3.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.,【训练3】 (1)圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，则圆柱的表面积为() A.6(43) B.8(31) C.6(43)或8(31) D.6(41)或8(32) (2)(必修2P36A10改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为_.,解析(1)分两种情况：以长为6的边为高时，4为圆柱底面周长，则2r4，r2，所以S底4，S侧64242，S表2S底S侧82428(31)；以长为4的边为高时，6为圆柱底面周长，则2r6，r3.所以S底9，S表2S底S侧182426(43).,考点四空间几何体的体积 【例4】 (1)(必修2P27例4改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球V柱为() A.12 B.23 C.34 D.13,(2)(2018天津卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_.,规律方法1.(直接法)规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算即可. 2.(割补法)不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体. 3.(等积法)三棱锥：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面. (1)求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；(2)利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥.,【训练4】 (必修2P28A3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_.,答案147,考点五多面体与球的切、接问题典例迁移 【例5】 (经典母题)(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是(),解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10. 要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.,2r43，不合题意. 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.,答案B,【迁移探究1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积.,解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1， 则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球. 体对角线BC1的长为球O的直径.,故S球4R2169.,【迁移探究2】 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积.,解如图，设球心为O，半径为r，,规律方法1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.,【训练5】 (2019北京海淀区调研)三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为(),答案D,思维升华 1.几何体的截面及作用 (1)常见的几种截面：过棱柱、棱锥、棱台的两条相对侧棱的截面；平行于底面的截面；旋转体中的轴截面；球的截面. (2)作用：利用截面研究几何体，贯彻了空间问题平面化的思想，截面可以把几何体的性质、画法及证明、计算融为一体. 2.棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想.,3.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 易错防范 1.求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错. 2.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.,直观想象与逻辑推理简单几何体的外接球与内切球问题,1.直观想象主要表现为利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物，解决与球有关的问题对该素养有较高的要求. 2.简单几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键. 一、知识要点 1.外接球的问题 (1)必备知识： 简单多面体外接球的球心的结论. 结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.,结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. 构造正方体或长方体确定球心. 利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. (2)方法技巧：几何体补成正方体或长方体. 2.内切球问题 (1)必备知识： 内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. 正多面体的内切球和外接球的球心重合. 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. (2)方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.,二、突破策略 1.利用长方体的体对角线探索外接球半径 【例1】 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是() A.16 B.20 C.24 D.32 解析设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球半径为R，则正四棱柱的体积为Va2h16，a2，4R2a2a2h2441624，所以球的表面积为S24. 答案C,评析若几何体存在三条两两垂直的线段或者三条线有两个垂直，可构造墙角模型(如下图)，直接用公式(2R)2a2b2c2求出R.,2.利用长方体的面对角线探索外接球半径,解析如图，在长方体中，设AEa，BEb，CEc.,从而a2b2c214(2R)2，可得S4R214. 故所求三棱锥的外接球的表面积为14. 答案14,评析三棱锥的相对棱相等，探寻球心无从着手，注意到长方体的相对面的面对角线相等，可在长方体中构造三棱锥，从而巧妙探索外接球半径. 3.利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心,答案C,评析三棱锥侧面与底面垂直时，可紧扣球心与底面三角形外心连线垂直于底面这一性质，利用底面与侧面的外心，巧探外接球球心，妙求半径. 4.利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心,评析直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型如下图,其外接球球心就是上下底面外接圆圆心连线的中点.,5.锥体的内切球问题 (1)题设：如图，三棱锥PABC是正三棱锥，求其内切球的半径.,图,图,6.柱体的内切球问题,
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