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第2课时等差数列前n项和的性质,第二章 2.2.2等差数列的前n项和,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.会利用等差数列性质简化求和运算. 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质,思考若an是公差为d的等差数列，那么a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？,答案(a4a5a6)(a1a2a3)(a4a1)(a5a2)(a6a3) 3d3d3d9d， (a7a8a9)(a4a5a6)(a7a4)(a8a5)(a9a6)3d3d3d9d. a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9是公差为9d的等差数列.,知识点二等差数列an的前n项和公式的函数特征,二次,最大,2.等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列an中，,最大,最小,最小,1.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.() 2.等差数列an的前n项和SnAn2bn.即an的公差为2A.(),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,4.数列an的前n项和Snn21，则an不是等差数列.(),2,题型探究,PART TWO,即S3m3(S2mSm)3(10030)210.,题型一等差数列前n项和的性质的应用,例1(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；,解方法一在等差数列中， Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列， 30，70，S3m100成等差数列. 27030(S3m100)，S3m210.,反思感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.,跟踪训练1一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和.,解设Snan2bn. S10100，S10010，,题型二求等差数列前n项和的最值问题,例2在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值.,解方法一S9S17，a125，,解得d2.,(n13)2169. 当n13时，Sn有最大值169. 方法二同方法一，求出公差d2. an25(n1)(2)2n27. a1250，,又nN，当n13时，Sn有最大值169. 方法三同方法一，求出公差d2.S9S17， a10a11a170. 由等差数列的性质得a13a140.a130，a140. 当n13时，Sn有最大值169.,方法四同方法一，求出公差d2.设SnAn2Bn. S9S17，,二次函数f(x)Ax2Bx的对称轴为x 13，且开口方向向下，,当n13时，Sn取得最大值169.,反思感悟(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形： 若a10，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用,运用二次函数求最值.,跟踪训练2已知等差数列an中，a19，a4a70. (1)求数列an的通项公式；,解由a19，a4a70， 得a13da16d0，解得d2， ana1(n1)d112n(nN).,(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？,解方法一由(1)知，a19，d2，,当n5时，Sn取得最大值. 方法二由(1)知，a19，d20，an是递减数列.,nN，n5时，an0，n6时，an0. 当n5时，Sn取得最大值.,题型三求数列|an|的前n项和,例3若等差数列an的首项a113，d4，记Tn|a1|a2|an|，求Tn.,解a113，d4，an174n. 当n4时，Tn|a1|a2|an|a1a2an,当n5时，Tn|a1|a2|an| (a1a2a3a4)(a5a6an) S4(SnS4)2S4Sn,反思感悟等差数列的各项取绝对值后组成数列|an|.若原等差数列an中既有正项，也有负项，那么|an|不再是等差数列，求和关键是找到数列an的正负项分界点处的n值，再分段求和.,跟踪训练3已知等差数列an中，Sn为数列an的前n项和，若S216，S424，求数列|an|的前n项和Tn.,解设等差数列an的首项为a1，公差为d，,所以等差数列an的通项公式为an112n(nN).,当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n. 当n6时，Tn|a1|a2|an| a1a2a5a6a7an2S5Sn 2(52105)(n210n) n210n50，,核心素养之直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,用数形结合思想求解数列中的参数问题,典例在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时 Sn取得最大值，则d的取值范围为_.,解析方法一由当且仅当n8时Sn最大，知a80且a90，,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于 A.13 B.35 C.49 D.63,1,2,3,4,5,2.若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于 A.12 B.13 C.14 D.15,解析S55a325，a35，da3a2532， a7a25d31013.故选B.,1,2,3,4,5,3.设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于 A.63 B.45 C.36 D.27,解析a7a8a9S9S6， 而由等差数列的性质可知，S3，S6S3，S9S6构成等差数列， 所以S3(S9S6)2(S6S3)， 即a7a8a9S9S62S63S32363945.,1,2,3,4,5,4.已知等差数列an的前n项和为Sn，7a55a90，且a9a5，则Sn取得最小值时n的值为 A.5 B.6 C.7 D.8,解析由7a55a90，即7a128d5a140d0，,又a9a5，所以d0，a10.,取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.,1,2,3,4,5,5.若等差数列an的前n项和为Sn2n23n，pq5，则apaq_.,20,apaq(pq)d5420.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形,3.求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点.,2.求等差数列前n项和最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.,
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