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,2.2.1 双曲线及其标准方程,第二章 圆锥曲线与方程,2.2 双曲线,1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程 2.掌握双曲线的标准方程 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.,学习目标,1.本节的重点是双曲线的定义，难点是双曲线的标准方程的推导因此与双曲线定义有关的问题就成了考查的重点 2.定义法、待定系数法求双曲线的标准方程，也是重点考查的 3.在双曲线的定义的问题中会与三角函数、向量、不等式的内容相结合出现.,特别提醒,我们知道，平面内与两个定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆那么，如果将上述椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差的绝对值”，点的轨迹又是怎样的曲线呢？,启动思维,1双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于 常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距,差的绝对值,两个定点,两焦点间的距离,走进教材,2双曲线的标准方程,(c,0)，(c,0),(0，c)，(0，c),c2a2b2,1点F1，F2是两个定点，动点P满足|PF1|PF2|2a(a为非负常数)，则动点P的轨迹是() A两条射线B一条直线 C双曲线 D前三种情况都有可能 解析：当2a|F1F2|，轨迹是双曲线；当2a|F1F2|时，轨迹是两条射线；当2a0时，轨迹是一条直线故选D. 答案：D,自主练习,答案：B,答案：4,典例剖析,题目类型一、求双曲线的标准方程,变式练习,题目类型二、双曲线定义的应用,答案：6,例3.已知定点F1(0，4)，F2(0,4)，动点M满足|MF1|MF2|2a，当a3和a4时，点M的轨迹为() A双曲线和一条直线 B双曲线的一支和一条直线 C双曲线和一条射线 D双曲线的一支和一条射线,解答本题依据双曲线定义求解,思路分析,解析：由已知，|F1F2|8. 答案：D,题后感悟 如何判断动点的轨迹？ (1)由已知条件，判断2a与|F1F2|的大小关系，大致确定动点的轨迹是双曲线或射线等； (2)再据|MF1|MF2|2a有无绝对值，准确确定动点轨迹的特征,2.已知点F1(0，13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为() Ay0 By0(x13或x13) Cx0(|y|13) D以上都不对 解析：|PF1|PF2|26|F1F2|， P点在x轴上，且P点的轨迹是两条射线，故选C. 答案：C,变式练习,思路分析,题后感悟在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件|PF1|PF2|2a的应用其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用,变式练习,题目类型三、利用双曲线定义求双曲线的方程,思路分析,题后感悟 (1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简 (2)由于动点M到两定点C2，C1的距离的差的绝对值为常数因此，其轨迹是双曲线,变式练习,1双曲线定义中注意的三个问题 (1)注意定义中的条件2a|F1F2|不可缺少 若2a|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线； 若2a|F1F2|，则动点的轨迹不存在 (2)注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数若a0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线 (3)注意定义中的关键词“绝对值”. 若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支,疑难突破,3椭圆与双曲线的比较,【错解一】双曲线的实轴长为8，由|PF1|PF2|8， 即9|PF2|8，得|PF2|1. 【错解二】双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 |PF1|PF2|8，所以|9|PF2|8， 所以|PF2|1或17.,误区警示,【错因】错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a，到一个焦点的距离是ca，到另一个焦点的距离是ac，本题是2或10，|PF2|1小于2，不合题意,【正解】双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 |PF1|PF2|8， 所以|9|PF2|8， 所以|PF2|1或17. 因为|F1F2|12，当|PF2|1时， |PF1|PF2|10|F1F2|， 不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去 所以|PF2|17.,
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