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,第三章 导数及其应用,章末复习,知识网络,专题归纳,专题二导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.也就是说,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率为f(x0),相应的切线方程为yy0f(x0)(xx0).,已知函数f(x)x3x16. (1)求曲线yf(x)在点(2,6)处的切线方程; (2)直线l为曲线yf(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标; 解：(1)由f(x)x3x16,可得f(x)3x21,所以在点(2,6)处的切线的斜率为kf(2)13,故切线的方程为y613(x2),即y13x32.,专题三利用导数研究函数的单调区间 应用导数求函数的单调区间的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数f(x); (3)解不等式f(x)0或f(x)0; (4)确定并指出函数的单调增区间、减区间. 特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“”连结.,已知函数f(x)4x33tx26t2xt1,xR, 其中tR. (1)当t1时,求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)当t0时,求f(x)的单调区间.,专题四利用导数研究函数的极值和最值 1.应用导数求函数极值的一般步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)解方程f(x)0的根; (3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号. 若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值; 若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值; 否则,此根不是f(x)的极值点.,2.求函数f(x)在闭区间a,b上的最大值、最小值的方法与步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值. 特别地,当f(x)在a,b上单调时,其最小值、最大值在区间端点处取得;当f(x)在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处f(x)有极大(或极小)值,则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值,这里(a,b)也可以是(,). 已知函数f(x)x33x22.若a0,求函数yf(x)在区间(a1,a1)内的极值.,解：对函数f(x)求导,f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0,得x0或x2. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,对a分四种情况讨论: 当0a1时,f(x)在(a1,a1)内有极大值f(0)2,无极小值;当a1时,f(x)在(a1,a1)内无极值;当1a3时,f(x)在(a1,a1)内有极小值f(2)6,无极大值;当a3时,f(x)在(a1,a1)内无极值. 综上可得,当0a1时,f(x)有极大值2,无极小值;当1a3时,f(x)有极小值6,无极大值;当a1或a3时,f(x)无极值.,专题五导数在实际中的应用问题 利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问题: (1)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考虑,不符合实际意义的值应舍去.,(2)在实际问题中,由f(x)0常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.,如图,一矩形铁皮的长为8 cm,宽为5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?,当x变化时,V(x),V(x)的变化情况如下表: V极大值V(1)18,又在定义域内仅有一个极大值. V最大值18. 即小正方形的边长为1 cm时,盒子的容积最大,最大为18 cm3.,能力提升,【解析】函数f(x)exax,则f(x)exa. 若函数在xR上有大于零的极值点, 即f(x)exa0有正根. 当f(x)aex0成立时,显然有a0,得参数a的范围为a1. 【答案】B,2.曲线yx3x2的斜率为4的切线方程是_.,【答案】4xy40或4xy0,3.已知函数f(x)alnxx在区间2,3上单调递增,则实数a的取值范围是_.,【答案】2,),
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