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3.3.1利用导数判断函数的单调性,第三章3.3导数的应用,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解导数与函数单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一函数的单调性与其导数正负的关系,思考f(x)x2在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，那么f(x)在(，0)，(0，)上的函数值的大小如何？,答案当x(，0)时，f(x)0.,总结(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：,减,增,(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：,减,增,特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f(x)0，在其余的点恒有f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似). (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.,知识点二函数的变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得 ，这时，函数的图象就比较“ ”(向上或向下)；反之，函数的图象就“ ”一些.,快,陡峭,平缓,1.函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增.() 2.函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.() 3.函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.(),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一利用导数判断函数的单调性,则cos x0，xcos xsin x0，,反思感悟关于利用导数证明函数单调性的问题 (1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行. (2)f(x)(或)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f(x)(或)0.,跟踪训练1证明：函数f(x) 在区间(0，e)上是增函数.,又0xe，ln xln e1.,故f(x)在区间(0，e)上是增函数.,题型二利用导数求函数的单调区间,命题角度1不含参数的函数求单调区间 例2求f(x)3x22ln x的单调区间.,解f(x)3x22ln x的定义域为(0，).,多维探究,反思感悟求函数yf(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数yf(x)的定义域. (2)求导数yf(x). (3)解不等式f(x)0，函数在定义域内的解集上为增函数. (4)解不等式f(x)0，函数在定义域内的解集上为减函数.,解函数f(x)的定义域为(，2)(2，).,因为x(，2)(2，)，所以ex0，(x2)20. 由f(x)0，得x3， 所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)； 由f(x)0，得x3， 又函数f(x)的定义域为(，2)(2，)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)，(2,3).,命题角度2含参数的函数求单调区间 例3讨论函数f(x)x2aln x(a0)的单调性.,解函数f(x)的定义域是(0，)，,设g(x)2x2a，由g(x)0，得2x2a. 当a0时，f(x)2x0，函数f(x)在区间(0，)上单调递增；,综上，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；,反思感悟(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误. (2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.,解由题设知，函数f(x)的定义域为(0，)，,由f(1)0，得1(am)a0，解得m1.,(2)求函数f(x)的单调递增区间.,当a1时，由f(x)0，得xa或00，得x1或00，得x1，此时f(x)的单调递增区间为(1，). 综上，当a1时，f(x)的单调递增区间为(a，)，(0,1)； 当a1时，f(x)的单调递增区间为(0，)； 当0a1时，f(x)的单调递增区间为(1，)，(0，a)； 当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，).,题型三含参数函数的单调性,例4若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是_.,1，),即k的取值范围为1，).,反思感悟(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准. (2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意. 先令f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意. (3)恒成立问题的重要思路 mf(x)恒成立mf(x)max. mf(x)恒成立mf(x)min.,跟踪训练4已知函数f(x)x2 (x0，常数aR).若函数f(x)在x2，)上单调递增，求a的取值范围.,要使f(x)在2，)上单调递增，则f(x)0在x2，)时恒成立，,x20，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立， a(2x3)min.设y2x3， y2x3在2，)上单调递增， (2x3)min16，a16.,a的取值范围是(，16.,核心素养之数学运算,HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN,含有参数函数单调性的讨论,典例讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性.,解f(x)的定义域为(0，)，,当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增； 当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；,综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增； 当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；,素养评析(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域及分类讨论的标准. (2)将函数单调性问题转化为求解一元二次不等式问题，明确了运算方向，而分类与整合思想能优化数学运算过程，对数学运算素养有较大的提高.,3,达标检测,PART THREE,1.函数f(x)xln x在(0,6)上是 A.增函数 B.减函数,1,2,3,4,5,函数在(0,6)上单调递增.,2.函数yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能是,1,2,3,4,5,解析函数f(x)在(，0)，(0，)上都是减函数， 当x0时，f(x)0； 当x0时，f(x)0.故选D.,1,2,3,4,5,3.函数f(x)ln xax(a0)的单调递增区间为,1,2,3,4,5,解析f(x)的定义域为x|x0，且a0，,1,2,3,4,5,4.若函数f(x)x32x2mx1在(，)内单调递增，则m的取值范围是,解析函数f(x)x32x2mx1在(，)内单调递增， f(x)3x24xm0在R上恒成立，,1,2,3,4,5,5.求函数f(x)(xk)ex的单调区间.,解f(x)ex(xk)ex(xk1)ex， 当xk1时，f(x)0， f(x)的单调递减区间为(，k1)， 单调递增区间为(k1，).,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f(x). (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0. (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.,
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