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第2课时一元二次不等式及其解法(二),第三章 3.3一元二次不等式及其解法,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式. 2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论. 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一分式不等式的解法 一般的分式不等式的同解变形法则：,f(x)g(x)0,f(x)g(x)0,g(x)0,知识点二一元二次不等式恒成立问题 一般地，“不等式 f (x)0在区间a，b上恒成立”的几何意义是函数 yf (x) 在区间a，b上的图象全部在 x 轴_方.区间a，b是不等式 f (x)0的解集的_. 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： kf (x)恒成立k_； kf (x)恒成立k_.,上,子集,f (x)max,f (x)min,知识点三含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是. 在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论.,2.x212x等价于(x21)min2x.(),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一分式不等式的解法,例1解下列不等式：,跟踪训练1解下列不等式：,题型二不等式恒成立问题,例2设函数 f (x)mx2mx1. (1)若对于一切实数 x，f (x)0恒成立，求实数 m 的取值范围；,解要使mx2mx10恒成立， 若m0，显然10，满足题意；,即4m0.4m0.,(2)对于x1,3，f (x)m5恒成立，求实数 m 的取值范围.,解方法一要使 f(x)m5在x1,3上恒成立，,当m0时，g(x)在1，3上是增函数，,当m0时，60恒成立； 当m0时，g(x)在1,3上是减函数， g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.,方法二当x1,3时，f(x)m5恒成立， 即当x1,3时，m(x2x1)60恒成立.,引申探究 把例2(2)改为：对于任意m1,3，f(x)m5恒成立，求实数x的取值范围.,解f(x)m5，即mx2mx1m5，m(x2x1)60. 设 g(m)m(x2x1)6. 则g(m)是关于m的一次函数且斜率,g(m)在1,3上为增函数， 要使g(m)0在1,3上恒成立，只需g(m)maxg(3)0， 即3(x2x1)60，x2x10，,反思感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种 (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式. (2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解. (3)若已知参数的取值范围，求x的取值范围，通常用变换变元的方法解答.,跟踪训练2当x(1，2)时，不等式x2mx40恒成立，则实数m的取值范围是_.,解析构造函数 f(x)x2mx4，x1,2， 则 f(x)在1,2上的最大值为 f (1)或 f (2). 由于当 x(1,2)时，不等式 x2mx40恒成立.,(,5,题型三含参数的一元二次不等式,例3解关于x的不等式ax2(a1)x10.,当a0时，不等式可化为x10，解集为x|x1.,当a1时，不等式的解集为.,当a0时，解集为x|x1；,当a1时，解集为；,反思感悟解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.,跟踪训练3解关于x的不等式(xa)(xa2)0.,解当a0或a1时，有aa2，此时，不等式的解集为x|axa2； 当0a1时，有a2a，此时，不等式的解集为x|a2xa； 当a0或a1时，原不等式无解. 综上，当a0或a1时，原不等式的解集为x|axa2； 当0a1时，原不等式的解集为x|a2xa； 当a0或a1时，解集为.,观察下列不等式解集与图象的关系.猜想第三个不等式的解集.,穿针引线解高次不等式,核心素养之逻辑推理,HEXINSUYANGZHILUOJITUILI,对于函数f(x)(xx1)(xx2)(xx3)(xxn)， 不妨设x1x2x3xn. 其图象有两个特点： 当xxn时，xx10，xx20，xxn0，f(x)0.该区间内f(x)图象在 x 轴上方. 从x轴右上方开始，f(x)的图象每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次. 根据这个原理，只要画出 f(x)示意图(穿针引线)，即可得到 f(x)0(或 f(x)0)的解集.如第三个不等式解集为(0，1)(2，).在此过程中，y轴可省略不画. 注意对于奇数次根穿而过，偶数次根穿而不过.,解集为(1,0)(1，).,穿针引线：,素养评析穿针引线法的发现归功于从简单到复杂，从具体到一般的观察，发现问题，提出命题，这就是逻辑推理素养中的归纳.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,1.若不等式x2mx10的解集为R，则实数m的取值范围是 A.m2 B.m2 C.m2或m2 D.2m2,解析由题意，得m240， 2m2.,5,1,2,3,4,A.1，2 B.(，12，) C.1，2) D.(，1(2，),5,x2或x1.,1,2,3,4,5,A.(，1)(1，2 B.1，2 C.(，2 D.(1，2,故1x2.,1,2,3,4,4.若不等式x2xk0在区间1，1上恒成立，则实数k的取值范围是_.,解析x2xk0，即k(x2x)在区间1，1上恒成立， 即k(x2x)min. 当x1时，(x2x)min2.k2.,5,(，2),1,2,3,4,5.解关于 x 的不等式：x2(1a)xa0.,5,解方程x2(1a)xa0的解为x11，x2a. 因为函数yx2(1a)xa的图象开口向上，所以 当a1时，原不等式的解集为x|1xa.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零. 2.对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max，则af(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则af(x)恒成立af(x)min.,3.含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑 (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a0，a0)，两相等实根(0)，无根(x2，x1x2，x1x2.,
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