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第1课时均值不等式,第三章 3.2均值不等式,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解均值不等式的内容及证明. 2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点二均值不等式常见推论 1.均值定理 如果a，bR，那么 _ .当且仅当ab时，等号成立，以上结论通常称为_定理，又叫均值不等式. 均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.,知识点一算术平均值与几何平均值 对任意两个正实数a，b，数 叫做a，b的算术平均值，数 叫做a，b的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.,均值,2.常见推论,(3)a2b2c2abbcca(a，b，cR).,1.对于任意a，bR，a2b22ab.(),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一常见推论的证明,例1证明不等式a2b22ab(a，bR).,证明a2b22ab(ab)20， a2b22ab.,引申探究,方法二由例1知，a2b22ab.,证明由例1，得a2b22ab， 2(a2b2)a2b22ab，,当且仅当ab时，取等号.,反思感悟(1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识. (2)不等式a2b22ab和均值不等式 成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.,题型二用均值不等式证明不等式,例2已知x，y都是正数.,当且仅当xy时，等号成立.,(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.,(xy)(x2y2)(x3y3),即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3， 当且仅当xy时，等号成立.,反思感悟利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项： 多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.,跟踪训练2已知a，b，c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.,证明a，b，c都是正实数，,即(ab)(bc)(ca)8abc， 当且仅当abc时，等号成立.,题型三用均值不等式比较大小,例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则,解析第二年产量为AAaA(1a)， 第三年产量为A(1a)A(1a)bA(1a)(1b). 若平均增长率为x，则第三年产量为A(1x)2. 依题意有A(1x)2A(1a)(1b)， a0，b0，x0，,综合，有PQR.,A.RPQ B.PQRC.QPR D.PRQ,解析ab1，lg alg b0，,核心素养之逻辑推理,HEXINSUYANGZHILUOJITUILI,演绎：从一般到特殊,x1，x10.,当且仅当x1时，等号成立.,3,达标检测,PART THREE,1.若0ab，则下列不等式一定成立的是,1,2,3,4,5,解析0ab，,ba0，aba2，,2.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是,解析对于A，当x0时，无意义，故A不恒成立； 对于B，当x1时，x212x，故B不成立； 对于D，当x0时，不成立；,1,2,3,4,5,3.四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则,1,2,3,4,5,解析因为a，b，c，d成等差数列，则adbc， 又因为a，b，c，d 均大于0且不相等，,1,2,3,4,5,4.lg 9lg 11与1的大小关系是 A.lg 9lg 111 B.lg 9lg 111 C.lg 9lg 111 D.不能确定,解析lg 90，lg 110，,即lg 9lg 111.,1,2,3,4,5,5.设a0，b0，给出下列不等式：,其中恒成立的是_.(填序号),1,2,3,4,5,当且仅当ab1时，等号成立，故恒成立；,当且仅当ab时，等号成立，故恒成立； 当a3时，a296a，故不恒成立. 综上，恒成立的是.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.,
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