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第3课时证明与探索性问题,第九章高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类深度剖析,1,PART ONE,题型一证明问题,师生共研,(1)求点P的轨迹方程；,解设P(x，y)，M(x0，y0)，,因为M(x0，y0)在C上，,因此点P的轨迹方程为x2y22.,证明由题意知F(1，0).,又由(1)知m2n22，故33mtn0.,又过点P存在唯一直线垂直于OQ， 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,设Q(3，t)，P(m，n)，,圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法.,(1)求椭圆T的方程；,又a2b2c2， 联立解得a23，b21.,(2)求证：PMPN.,纵坐标为1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PMPN.,又kPM，kPN为方程的两根，,所以PMPN. 综上知PMPN.,纵坐标为1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PMPN.,联立得(13k2)x212k(sin kcos )x12(sin kcos )230， 令0， 即144k2(sin kcos )24(13k2)12(sin kcos )230，,所以PMPN. 综上知PMPN.,化简得(34cos2)k24sin 2k14sin20，,题型二探索性问题,师生共研,(1)求椭圆E的方程；,(2)若过点F作与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在线段OF上是否存在点M(m，0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.,解在线段OF上存在点M(m，0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形. 因为直线l与x轴不垂直， 则可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2，,因为以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形， 所以|MP|MQ|，,所以在线段OF上存在点M(m，0)，,解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.,(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；,(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？请说明理由.,解存在符合题意的点，证明如下： 设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线PM，PN的斜率分别为k1，k2. 将ykxa代入C的方程得x24kx4a0. 故x1x24k，x1x24a.,当ba时，有k1k20， 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意.,课时作业,2,PART TWO,基础保分练,1,2,3,4,5,6,(1)求椭圆C的方程；,1,2,3,4,5,6,(2)过点A(2，0)作直线AQ交椭圆C于另外一点Q，交y轴于点R，P为椭圆C上一点，且AQOP，,1,2,3,4,5,6,证明显然直线AQ斜率存在，设直线AQ：yk(x2)，R(0，2k)，P(xP，yP)，,1,2,3,4,5,6,令直线OP为ykx且令xP0.,1,2,3,4,5,6,(1)求椭圆C的标准方程；,(2)若经过点P(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在直线l0：xx0(x02)，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足 恒成立，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,解若直线l的斜率不存在，则直线l0为任意直线都满足要求； 当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨令x11x2)， 则dAx0 x1，dBx0 x2，,1,2,3,4,5,6,由题意知，0显然成立，,综上可知，存在直线l0：x4，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,3.已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y 上的圆E与x轴相切，且E，F关于点M(1，0)对称. (1)求E和的标准方程；,因为E，F关于M(1，0)对称，,所以的标准方程为x24y. 因为E与x轴相切，故半径r|a|1， 所以E的标准方程为(x2)2(y1)21.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,证明由题意知，直线l的斜率存在， 设l的斜率为k，那么其方程为yk(x1)(k0)，,因为l与E交于A，B两点，,1,2,3,4,5,6,16k216k0恒成立， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x24k，x1x24k，,1,2,3,4,5,6,4.已知椭圆 1(ab0)的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点F1，F2的距离之和为4. (1)求椭圆的标准方程；,1,2,3,4,5,6,解由题意，2a4，2a2b6， a2，b1.,(2)若直线AB：yxm与椭圆交于A，B两点，C，D在椭圆上，且C，D两点关于直线AB对称，问：是否存在实数m，使|AB| 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,解C，D关于直线AB对称， 设直线CD的方程为yxt，,64t245(4t24)0， 解得t25， 设C，D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,设CD的中点为M(x0，y0)，,又点M也在直线yxm上，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,技能提升练,(1)求直线ON的斜率kON；,解设椭圆的焦距为2c，,从而椭圆C的方程可化为x23y23b2.,1,2,3,4,5,6,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点N(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,设M(x，y)，由(1)中各点的坐标有(x，y)(x1，y1)(x2，y2)， 故xx1x2，yy1y2. 又因为点M在椭圆C上，所以有(x1x2)23(y1y2)23b2，,1,2,3,4,5,6,又点A，B在椭圆C上，,将，代入可得221.,1,2,3,4,5,6,所以，对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，,所以存在0，2)，使得cos ，sin . 也就是：对于椭圆C上任意一点M，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,拓展冲刺练,(1)求椭圆C的标准方程；,1,2,3,4,5,6,解方法一由题意及椭圆的定义，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解由(1)可得N(0，1). 显然当直线l的斜率不存在时，不满足题意， 则直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，,36k2m212(13k2)(m21)12(13k2m2)0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,所以x1x2y1y2(y1y2)10，,1,2,3,4,5,6,化简得k42k210，解得k21，k1，此时0，符合题意.,此时0，符合题意. 综上所述，存在满足题意的直线l，且直线l的条数为4.,
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