第八章 第四节

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1.下列各点中，不在x+y1W0表示的平面区域的是()A. (0,0)B. (1,1)C. (1,3)D. (2，3)【解析】V将 x =- 1, y = 3代入x + y - 1 得-1 + 3- 1 = 10,故(-1,3)不在x + y - 1W0表示的平面区域 内【答案】 C2xy+1 三02.不等式组x2y1W0 表示的平面区 jx+yW1域为()A.四边形及其内部B等腰三角形及其内部C. 在第一象限内的一个无界区域D. 不包含第一象限内的点的一个有界区域【解析】 画出不等式组表示的平面区域如 图，易知 2x-y+1=0 与 x-2y-1=0 关于 y=x 对称， 与 x+y=1 所成角相等，故不等式组表示的平面区 域为等腰三角形及其内部【答案】 B庐13.已知实数x, y满足yW2x1 ，如果 、x+yWm目标函数z=xy的最小值为一1,则实数m等 于()A. 7 B. 5C. 4 D. 3【解析】将直线y = x+1与y = 2x-l联 立解得A(2,3),据题意即为最优解，又点A必在 直线x + y = m上，代入求得m = 5.【答案】 Bxy+5204.若不等式组 ya表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是()A. a5 B a8C 5Wa8 D a5 或 a8【解析】 如图作出可行域，要构成三角形，直线y = a只能介于y = 5和y = 8两直线间，故 5 Wa 0,故 2x-y+220,所求二元一次不等式组为.【答案】xy+1208.若实数 x, y 满足x+y20, z=3xjxWO2y，则 z 的取值范围是【解析】作出图象可知，此平面区域是以 O(0,0)，A（0,1），B 为顶点的三角形内部 （包括边界），当 x=0, y=0时，x+2y取得最小值0；当x=0, y=1 时， x+2y 取得最大值 2.又因为指数函数 y=3x 在 0,2上为增函数，故 z=3x+2y 的取值范围为1,9【答案】 1,99某实验室需购某种化工原料 106 千克， 现在市场上有两种包装，一种是每袋 35 千克， 价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元，在满足需要的条件下，最少要花费 元35“ 24=106【解析】 设购买第一种包装X袋，第二种 包装y袋，由已知条件35x+24y2106, x0, y 三0,则当 x=1, y=3 时，z=140x+120y，取到最 小值 500 元【答案】 500三、解答题（共 46 分）10 (15 分)已知 非负实数 x 、 y 满足j2x+y4W0, jx+y 3 WO.(1) 画出不等式组所表示的平面区域；(2)求z=x+3y的最大值.【解析】 (1)所给不等式组所表示的平面区 域为图中阴影所示(2) 如图作出直线l: x+3y=O,把直线向上平 移至11的位置，使11经过可行域上点M,此时 点 M 与原点为的距离最大，此时 z=x+3y 的最大 值是 0+3 X 3=9.11. (15分)设S为平面上以A(3, 1), B( 1,1), C(1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部 及边界).若点(x, y)在区域S上变动.(1)求z=3x2y的最值；(2) 求z=yx的最大值，并指出其最优解;(3) 若x, y为整数，求z=yx的最大值， 并指出其最优解3z【解析】(1)z = 3x - 2y可化为y = 2X - 2 =32xb，3=2x故求 z 的最大值、最小值，相当于求直线 yb 在 y 轴上的截距 b 的最小值、最大值即b取最大值时，z取最小值；反之亦然.3如图所示，直线y = 左、右平行移动，(1)35当y = 2x + b过B点时，b = 2,此时z2max 2=2b=5;(2)3当y =+ b过A点时，11b = -十，此时 z = 2b = 11.min 2max(2) z = y x可化为y = x + z,故求z的最大 值，相当于求直线y = x + z在y轴上的截距z的 最大值如图(2)所示，直线y = x平行移动，当直线y = x + z与直线BC重合时,z = 2,max 此时线段 BC 上任一点的坐标都是最优解(3) 由(2)可知z=2,最优解都在线段BCmax上,且 x, y 为整数,所以最优解有( 1,1), (0,2), (1,3)12(16 分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品 A、B,该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排通过调查，有关数据如表：产品产品研制成本与搭载费用之和（万元/件）产品重量（千克/件）预计收益（万元/件）A（件）201080B（件）3060计划最大资金额300万最大搭载重量110千克试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【解析】 设搭载产品 Ax 件，产品 By 件 预计收益z = 80x + 60y.*20x + 30yW300则10x + 5yW110，作出可行域，如图xN, yN作出直线 l0：4x+3y=0 并平移，由图象得， 当直线经过 M 点时 z 能取得最大值，解得即 M(9,4)所以 zmax=80 X 9+60 X 4=960(万元).答：搭载产品 A9 件，产品 B4 件，可使得 总预计收益最大，为 960 万元