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开放探究型问题一、选择题1、（2013浙江省宁波模拟题）课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课小组成员把他们分别标号为，）的生长情况进行观察记录这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为，），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形 进行形象的记录）那么标号为的微生物会出现在（ ） A第天 B第天 C第天 D第天11211110121201918171615141354987623（第12题图）答案：CAEBCDF2、（2013山东德州特长展示）如图，在ABC中，点E 、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DEAC，DFAB下列说法中错误的是( ) A四边形AEDF是平行四边形B如果BAC=90 ，那么四边形AEDF是矩形C如果ADBC，那么四边形AEDF是正方形D如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形二、填空题1、（2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）如图，RtABC中，在AC边上取点O画圆使O经过A、B两点，下列结论中：；以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；延长BC交O与D，则A、B、D是O的三等分点正确的序号是 (多填或错填不给分)2、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为对角线AC上一点，过P作BP的垂线交直线AD于点Q，若APQ为等腰三角形，则AP的长度为 或 . 3.6或1三、解答题第1题图1（2013年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，在中，AC=6，BC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将的周长分成相等的两部分，设AE=，AD=，的面积为S.（1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求出S关于的函数关系式，并判断S是否有最大的值，若有，则求出其最大值，并指出此时的形状；若没有，请说明理由. 答案：（1）DE平分ABC的周长，即yx12y关于x的函数关系式为：y12x（2x6）（2）过点D作DFAC，垂足为FF，即，ABC是直角三角形，ACB90，即故当x6时，S取得最大值此时，y1266，即AEAD因此，ADE是等腰三角形2. （2013年北京房山区一模）已知，抛物线，当1x5时，y值为正；当x1或x5时，y值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线（k0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式.（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G.求t的取值范围是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）-1分，解得.抛物线的解析式为. -2分 （2）的图象过A（，m）和B（4，n）两点 m=，n=3 ， A（，）和B（4，3） - 3分 直线（k0）过A（，）和B（4，3）两点，解得.直线的解析式为. -4分（3）根据题意，解得t2 -5分根据题意E（t，），F（t+2，） H（t，），G（t+2，），EH=，FG=. 若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即= 解得t=， - -6分t=满足t2. 存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形.-7分3. （2013年北京龙文教育一模） 如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为.(1) 求此二次函数解析式； (2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、，求和的最小值.第3题图答案：解:(1) 点A、B的坐标分别为（-1,0）、（3,0）， 解得 二次函数解析式为. 2分 （2）可求点C的坐标为（1，） 点D的坐标为（1，）.可求 直线AD的解析式为 .由题意可求 直线BK的解析式为. 直线的解析式为, 可求出点K的坐标为(5,).易求 . 四边形ABKD是菱形. 菱形的中心到四边的距离相等， 点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2， ） . 5分 (3) 点D、B关于直线AK对称, 的最小值是.过K作KFx轴于F点. 过点K作直线AD的对称点P,连接KP,交直线AD于点Q, KPAD. AK是DAB的角平分线, . 的最小值是.即BP的长是的最小值. BKAD, . 在RtBKP中,由勾股定理得BP=8. 的最小值为8. 8分4（2013年北京顺义区一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由第4题图答案：解：（1）将点代入得 1分解之得，所以抛物线的解析式为 2分（2）由（1）可得抛物线顶点 3分 直线的解析式为 由是对称轴与直线的交点，则 由与关于点对称 ，则4分证法一：从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于在和中，所以所以 5分证法二：直线的解析式为点 关于对称轴的对称点是将点代入可知点在直线所以 （3）在中，三内角不等，且为钝角 若点在点下方时，在中，为钝角因为，所以和不相等所以，点在点下方时，两三角形不能相似 6分 若点在点上方时，由，要使与相似只需（点在之间）或（点在的延长线上）解得点的坐标为或 8分第1题图5（2013年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，在中，AC=6，BC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将的周长分成相等的两部分，设AE=，AD=，的面积为S.（1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求出S关于的函数关系式，并判断S是否有最大的值，若有，则求出其最大值，并指出此时的形状；若没有，请说明理由. 答案：（1）DE平分ABC的周长，即yx12y关于x的函数关系式为：y12x（2x6）（2）过点D作DFAC，垂足为FF，即，ABC是直角三角形，ACB90，即故当x6时，S取得最大值此时，y1266，即AEAD因此，ADE是等腰三角形6. （2013年北京房山区一模）已知，抛物线，当1x5时，y值为正；当x1或x5时，y值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线（k0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式.（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G.求t的取值范围是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）-1分，解得.抛物线的解析式为. -2分 （2）的图象过A（，m）和B（4，n）两点 m=，n=3 ， A（，）和B（4，3） - 3分 直线（k0）过A（，）和B（4，3）两点，解得.直线的解析式为. -4分（3）根据题意，解得t2 -5分根据题意E（t，），F（t+2，） H（t，），G（t+2，），EH=，FG=. 若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即= 解得t=， - -6分t=满足t2. 存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形.-7分7. （2013年北京龙文教育一模） 如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为.(1) 求此二次函数解析式； (2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、，求和的最小值.第3题图答案：解:(1) 点A、B的坐标分别为（-1,0）、（3,0）， 解得 二次函数解析式为. 2分 （2）可求点C的坐标为（1，） 点D的坐标为（1，）.可求 直线AD的解析式为 .由题意可求 直线BK的解析式为. 直线的解析式为, 可求出点K的坐标为(5,).易求 . 四边形ABKD是菱形. 菱形的中心到四边的距离相等， 点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2， ） . 5分 (3) 点D、B关于直线AK对称, 的最小值是.过K作KFx轴于F点. 过点K作直线AD的对称点P,连接KP,交直线AD于点Q, KPAD. AK是DAB的角平分线, . 的最小值是.即BP的长是的最小值. BKAD, . 在RtBKP中,由勾股定理得BP=8. 的最小值为8. 8分8（2013年北京顺义区一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由第4题图答案：解：（1）将点代入得 1分解之得，所以抛物线的解析式为 2分（2）由（1）可得抛物线顶点 3分 直线的解析式为 由是对称轴与直线的交点，则 由与关于点对称 ，则4分证法一：从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于在和中，所以所以 5分证法二：直线的解析式为点 关于对称轴的对称点是将点代入可知点在直线所以 （3）在中，三内角不等，且为钝角 若点在点下方时，在中，为钝角因为，所以和不相等所以，点在点下方时，两三角形不能相似 6分 若点在点上方时，由，要使与相似只需（点在之间）或（点在的延长线上）解得点的坐标为或 8分9、(本题满分15分)如图（1），P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点(1).如点P为锐角的费马点且ABC60，PA=3，PC=4，求PB的长。(4分)(2).如图（2），在锐角外侧作等边连结求证：过的费马点，且(6分)(3).已知锐角，ACB60，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD,BCE,ACF,请找出的费马点，并探究SABC与SABD的和,SBCE与SACF的和是否相等。(1+4分)ACB图（1）图（2）解：由ABP与BPC相似,得PB2=PAPC,PB=2 ；（2）在BB上取点P，使BPC=120，连接AP，再在PB上截取PE=PC，连接CE，BPC=120,EPC=60，PCE是正三角形。ACB图（1）图（2）PC=CE,PCE=60,CEB=120.ACB是正三角形,AC=CB,ACB=60.PCA+ACE=ACE+ECB=60,PCA=ECB,ACPBCE,APC=BEC=120,PA=EB,P为锐角的费马点.BB过的费马点P,且BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC.（3） 连接DC,BF交与点P，则P为锐角的费马点.在DAC与BAF中,DA=BA,DAC=BAF,AC=AF,DACBAF.SDAC=SBAF,ACB=CAF=60,AFBC.SBAF=SCAF, SDAC=SCAF.同理可证SDBC=SBEC,.SACF+SBCE=SDAC+SDBC=SABC+SABD10. 如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AEBF于点G，且BE=1（1）求证：ABEBCF；（2）试求ABE和BCF重叠部分的面积；（3）如图2，将ABE绕点A逆时针方向旋转到ABE，点E落在CD边上的点E处，则ABE在旋转前后与BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由（1）证明：正方形ABCD中，ABE=BCF=90，AB=BC， ABF+CBF=900， AEBF， ABF+BAE=900， BAE=CBF， 2分 ABEBCF. 3分（2）正方形面积为3，AB=.又BE=1，tanBAE=BAE=30，CBF=30 5分GE=，GB=. 6分（3）没有变化. 7分由（2）可知BAE=30.AB=AD, ABE= ADE=90,AE公共，RtABERtABE RtADEDAE=BAE=BAE=30AB与AE在同一直线上，即G点就是AB与BF的交点，如图所示.设BF与AE的交点为H，RtBAGRtHAG. 11分S四边形HGBE= SBGE即ABE在旋转前后与BCF重叠部分的面积没有发生变化. 11. （黑龙江2013）(本题10分)如图，平面直角坐标系中O为坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OA中点；（1）求直线BC解析式；（2）动点P从O出发以每秒2个单位长度的速度沿线段OA向终点A运动，同时动点Q从C出发沿线段CB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作QMAB交x轴于点M，若线段PM的长为y，点P运动时间为t( )，求y于t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，以PC为直径作N，求t为何值时直线QM与N相切.解：（1） x=0时，y=6；y=0时，x=8， B（0,6） A(8，0) C为OA中点，C（4,0） （1分）设BC：4k+b=0， b=6，k= y=x+6 （1分） （2）QMAB （1分）CM=t， （1分） 0t4时，PM= （0t4）（1分） （3）过N点作NHMQ交直线MQ于H点N为PC的中点，MN=（1分）MQABQMC=BAOsinQMC=sinBAO=NH=2=（1分）PC=（1分）=2=，解得，或（1分）综上，或时，直线QM与N相切第27题图12、（2013山东德州特长展示）（本小题满分12分）已知：如图，在RtABC中，ACB=90，BC=3 ，tanBAC=，将ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标BACOHxy解：（1）在RtABC 中，BC=3 ，tanBAC=，AC=4AB=设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，BHO=BCO=90，AH=ABBH=2，OA=4m在RtAOH 中， OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4m)2，得 m=OC=，OA=ACOC=，O（0，0） A（，0），B（，3）2分设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x）把x=，y=3代入解析式，得a=y=x（x）= 即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=4分（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得： 解之得 k= ，b=直线AB的解析式为y=6分设动点P（t，），则M（t，）7分d=（）（）= 当t=时，d有最大值，最大值为28分yBACOHxE2E1E3D(3)设抛物线y=的顶点为Dy=，抛物线的对称轴x=，顶点D（，）根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称 当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形这时点D即为点E，所以E点坐标为（）10分 当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或E（，）所以在抛物线上存在三个点：E1（，），E2（，），E3（，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形12分13、(2013年福州市初中毕业班质量检查) (12分)如图，RtABC中，C90，ACBC8，DE2，线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始)，速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止F为DE中点，MFDE交AB于点M，MNAC交BC于点N，连接DM、ME、EN设运动时间为t秒 (1) 求证：四边形MFCN是矩形； (2) 设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值； (3) 在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与DEM相似，求t的值ABCDEMFN第21题图备用图(1) 证明：MFAC，MFC90 1分MNAC，MFCFMN180FMN90 2分C90，四边形MFCN是矩形 3分(若先证明四边形MFCN是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)(2) 解：当运动时间为t秒时，ADt，F为DE的中点，DE2，DFEFDE1AFt1，FC8(t1)7tABCDEMFN四边形MFCN是矩形，MNFC7t 4分又ACBC，C90，A45在RtAMF中，MFAFt1， 5分SSMDE SMNE DEMFMNMF2(t1) (7t)(t1)t24t 6分St24t(t4)2当t4时，S有最大值 7分(若面积S用梯形面积公式求不扣分)(3) 解：MNAC，NMEDEM 8分 当NMEDEM时， 9分1，解得：t5 10分 当EMNDEM时， 11分EM2NMDE在RtMEF中，ME2EF2MF21(t1)2，1(t1)22(7t)解得：t12，t26(不合题意，舍去)综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与DEM相似 12分14、（2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）（10分）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元， 请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？15、（2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）（11分）以原点为圆心,为半径的圆分别交、轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为.(1)如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为t秒，当时，直线PQ恰好与O第一次相切，连接OQ.求此时点Q的运动速度（结果保留）；(2)若点Q按照中的方向和速度继续运动，为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；在的条件下，如果直线PQ与O相交，请求出直线PQ被O所截的弦长.（补充说明：直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的角等于30.）解：（1）连接OQ，则OQPQOQ=1，OP=2，所以，可得 所以点Q的运动速度为/秒. 3分(2)由（1）可知，当t=1时， OPQ为直角三角形所以，当Q与Q关于x轴对称时，OPQ为直角三角形此时， 当Q(0，-1)或Q(0，1)时， 此时或即当，或时，OPQ是直角三角形. 7分当或时，直线PQ与O相交.作OMPQ，根据等面积法可知：PQOM=OQOPPQ= QM 弦长. 11分16、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分6分）如图，在ABC中，ABC=90，BEAC于点E，点F在线段BE上，1=2，点D在线段EC上，给出两个条件：DFBC；BF=DF.请你从中选择一个作为条件，证明：AFDAFB解：选DF/BC.证明略17、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分) 如图1，在长方形纸片ABCD中，其中1，将它沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0n1(1) 如图2，当（即M点与D点重合），=2时，则= ；（2）如图3，当（M为AD的中点），的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3) 如图1，当（AB=2AD），的值发生变化时，的值是否发生变化？说明理由解： 延长PM交EA延长线于G，则PDMGAM，EMPEMG.EP=EG=EA+AG=EA+DP. 设AD=1,AB=2,过E作EHCD于H,EFP=FPN=MPD=EMA.EFHEMA AE的长度发生变化,的值将发生变化.18、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PMAB于点M，PNy轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求PMN周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由 、解：由题意得：A(-1,0)、B(3,2) 解得:抛物线的解析式为y=-x+x+2 设AB交y轴于D，则D（0，），OA=1，OD=，AD=，=， PNy轴, PNM=CDN=ADO, RtADORtPNM.=PN=PN. 当PN取最大值时, 取最大值. 设P(m, -m+m+2) N(m, m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+. -1m3. 当m=1时,PN取最大值. PNM周长的最大值为2=.此时P(1,3). 设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n) +t. E在抛物线上，t=-(n-)+.四边形DFEG为菱形. DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.DEG与DEF均为正三角形.D为抛物线的顶点.D(,).DFx轴,且D、F关于直线x=n对称.DF=2（n-）.DEF为正三角形.-=2(n-).解得：n=.t=-.存在点E，坐标为E(,-).19、（2013凤阳县县直义教教研中心）如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BDCF，BDCF成立.（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（）时，如图2，BDCF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G. 求证：BDCF； 当AB4，AD时，求线段BG的长. 图1 图2 图3解（1）BDCF成立.理由：ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90, BAD=，CAF=，BAD=CAF，BADCAF. BDCF.（4分）（2）证明：设BG交AC于点M.BADCAF（已证），ABMGCM.BMA CMG ，BMA CMG.BGCBAC 90.BDCF.（7分）过点F作FNAC于点N.在正方形ADEF中，AD，ANFN.在等腰直角ABC 中，AB4，CNACAN3，BC.RtFCNRtABM，AM.CMACAM4， . （9分）BMA CMG，. CG. （11分）在RtBGC中，. . （12分）20、（2013凤阳县县直义教教研中心）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ABO与ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）抛物线经过A、B、C三点，把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组 解得：抛物线的解析式为 （4分）（2）由题意可得：ABO为等腰三角形,如图所示，若ABOAP1D，则DP1=AD=4 , P1若ABOADP2 ，过点P2作P2 Mx轴于M，AD=4, ABO为等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合P2（1，2） （8分）（3）如图设点E ，则 当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE = 点E在x轴下方 代入得： ,即 =(-4)2-47=-120 此方程无解当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = 点E在x轴下方 代入得：即 ，=(-4)2-45=-40此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。（14分）21（2013郑州外国语预测卷）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角ABC中，AB=AC，BAC=90，小敏将一块三角板中含45角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分BAM，则AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论；（2）当045时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将ABD绕点A顺时针旋转90得到ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45135且90时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135180时（如图4），等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由答案：解：（1）证明：BAC90，DAEDAMMAE45，BADEAC45。 又AD平分MAB，BADDAM。MAEEAC。 AE平分MAC。 （2）证明小颖的方法： 将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF， AFAB，AFDB45，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 由（1）知，FAECAE。 在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。 DFEAFD AFE90。 在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。（3）当135180时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立。证明如下： 如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。 将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF， AFAB，AFDABC45，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 又CAE900BAE900（45BAD）45BAD45FADFAE。在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。又在AGF和BGE中，ABCAFE45，AGFBGE，FAGBEG。又FDEDEF=FDEFAG（ADBDAB）ABC90。DFE90。在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。27
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