四川省成都市2014-2015学年高二数学下学期期初考试试卷含解析

四川省成都2014-2015学年高二下学期期初数学试卷 一、选择题1某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是( )A19B20C18D21考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可解答：解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，6+45=x+32，x=6+4532=19因此，另一学生编号为19故选A点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法2双曲线=1的渐近线方程为( )Ay=xBy=xCy=xDy=x考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求解答：解：双曲线方程为=1，渐近线方程为=0，即y=x，故选：A点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程3如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于( )A720B360C240D120考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，写出每次循环得到的k，的值，当有k=4，=360时不满足条件km，输出p的值为360解答：解：执行程序框图，有n=6，m=4k=1，=1第一次执行循环体，=3满足条件km，第2次执行循环体，有k=2，=12满足条件km，第3次执行循环体，有k=3，=60满足条件km，第4次执行循环体，有k=4，=360不满足条件km，输出p的值为360故选：B点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题4从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是( )ABCD考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：利用组合、乘法原理及古典概型的概率计算公式即可得出解答：解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，共有=6种方法；其中恰有一个红球的方法为=4因此恰有一个红球的概率P=故选C点评：熟练掌握组合、乘法原理及古典概型的概率计算公式是解题的关键5已知直线3x+4y3=0与直线6x+my+14=0行，则它们之间的距离是( )ABC8D2考点：两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：计算题分析：根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出 m，利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离解答：解：直线3x+4y3=0与直线6x+my+14=0平行，=，m=8，故直线6x+my+14=0 即3x+4y+7=0，故两平行直线间的距离为 =2，故选 D点评：本题考查两直线平行的性质，两平行直线间的距离公式的应用6设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是( )A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：证明题分析：由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C解答：解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D点评：本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题7已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|=|，其中O为原点，则实数a的值为( )A2B2C2或2D或考点：直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用 专题：计算题分析：条件“|=|”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=|2，=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法解答：解：由|=|得|2=|2，=0，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=2，故选C点评：若非零向量，满足|=|，则模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁8已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )ABCD考点：直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：利用三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为APA1为PA与平面ABC所成角利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在RtAA1P中，利用tanAPA1=即可得出解答：解：如图所示，AA1底面A1B1C1，APA1为PA与平面A1B1C1所成角，平面ABC平面A1B1C1，APA1为PA与平面ABC所成角=V三棱柱ABCA1B1C1=，解得又P为底面正三角形A1B1C1的中心，=1，在RtAA1P中，故选B点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键9已知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=1，则圆C内任意一点到直线的距离小于的概率为( )ABCD考点：几何概型 专题：概率与统计分析：试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，满足条件的事件是圆内到直线l的距离小于，如图中夹在两平行线之间圆内的部分，根据几何概型概率公式得到结果解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆内随机的取一个点，满足条件的事件是圆内到直线l的距离小于，如图中夹在两平行线之间圆内的部分直线x+y=0与x+y2=0与直线l：x+y=1的距离为，且AOB=90，根据几何概型的概率公式得到P=2故选D点评：本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定测度是关键10椭圆（ab0）的离心率，A、B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（1，0），设AB的中点为C（x0，y0），则x0的值为( )ABCD考点：椭圆的简单性质；中点坐标公式 专题：计算题分析：本题涉及到垂直平分线，与斜率和中点有关，所以先由A、B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点得到：两式作差得到斜率与中点的关系，再由线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（1，0），转化斜率转化为：求解解答：解：A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点由得：=线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（1，0），解得：故选B点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系及方程的应用，这里主要涉及了线段的垂直平分线，用点差法寻求斜率与中点的关系的问题二、填空题11甲，乙两人下棋，甲获胜的概率是60%，甲不输的概率是80%，甲、乙和棋的概率是20%考点：互斥事件的概率加法公式 专题：概率与统计分析：甲不输的概率为80%，其中包括甲获胜和甲乙两人下成平局两种情况，两数相减即可解答：解：甲不输，即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，设甲、乙二人下成和棋的概率为P，则由题意可得 80%=60%+p，p=20%故答案为：20%点评：本题考查的是互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题12过点P（6，12）且被圆x2+y2=100截得的弦长为16的直线方程为3x4y+30=0或x+6=0考点：直线与圆相交的性质 专题：综合题；直线与圆分析：算出圆心为O（0，0）、半径r=10，根据垂径定理算出直线到圆心的距离等于6当直线斜率存在时设直线方程为y12=k（x6），由点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k，可得此时直线的方程；当直线斜率不存在时，直线方程为x+6=0，到圆心的距离也等于6，符合题意由此即可得出所求的直线方程解答：解：圆x2+y2=100的圆心为O（0，0），半径r=10设圆心到直线的距离为d，当过点P（6，12）的直线斜率存在时，设直线方程为y12=k（x6），即kxy6k+12=0，直线圆x2+y2=100截得弦长为16，根据垂径定理，得d=6根据点到直线的距离公式，得=6，解之得k=，此时直线的方程为3x4y+30=0；当过点P（6，12）的直线斜率不存在时，直线方程为x=6由圆心到直线的距离d=6，可得直线被圆截得的弦长也等于16，符合题意综上所述，可得所求的直线方程为3x4y+30=0或x+6=0故答案为：3x4y+30=0或x+6=0点评：本题给出经过定点的直线被圆截得的弦长，求直线的方程着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题13某工厂对一批产品进行了抽样检测如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98），98，100），100，102），102，104），104，106，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是90考点：频率分布直方图 专题：计算题分析：根据频率直方图的意义，由样本中净重在96，100）的产品个数是36可求样本容量，进而得出样本中净重在98，104）的产品个数解答：解：由题意可知：样本中净重在96，100）的产品的频率=（0.05+0.1）2=0.3，样本容量=，样本中净重在98，104）的产品个数=（0.1+0.15+0.125）2120=90故答案为90点评：本题是对频率、频数运用的简单考查，频率、频数的关系：频率=14过双曲线的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C若，则双曲线的离心率是考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，根据c2a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得解答：解：直线l：y=x+a与渐近线l1：bxay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），=（，），=（，），=，b=2a，c2a2=4a2，e2=5，e=，故答案为：点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用15已知AC、BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为5考点：直线和圆的方程的应用 专题：计算题分析：设圆心到AC、BD的距离分别为d1、d2，则 d12+d22 =3，代入面积公式s=ACBD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值解答：解：如图连接OA、OD作OEAC OFBD垂足分别为E、FACBD四边形OEMF为矩形已知OA=OC=2 OM=，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22=OM2=3四边形ABCD的面积为：s=|AC|（|BM|+|MD|），从而：，当且仅当d12 =d22时取等号，故答案为：5点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题解答关键是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算三、解答题16如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=4，DAB=90，BAA1=DAA1=60，E是CC1的中点，设=，=，=（1）用、表示；（2）求|考点：空间向量的加减法；空间向量的夹角与距离求解公式 专题：空间向量及应用分析：（1）如图所示，=，利用向量的多边形法则可得=+（2）利用向量数量积运算性质可得：=+，代入即可得出解答：解：（1）如图所示，=，=+=（2）=+=+0+=43点评：本题考查了向量的多边形法则、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力17（1）设集合M=1，2，3N=1，1，2，3，4，5从集合M中随机取一个数作为a，从N中随机取一个数作为b，求所取得两个数中能使2ba时的概率（2）设点（a，b）是区域 内的随机点，求能使2ba时的概率考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（1）属于古典概型，只要求出从集合M中随机取一个数作为a，从N中随机取一个数作为b的所有可能结果，以及取得两个数中能使2ba时的结果，利用公式解答即可；（2）画出平面区域以及取得两个数中能使2ba时的区域，利用面积比求概率解答：解：（1）集合M=1，2，3N=1，1，2，3，4，5从集合M中随机取一个数作为a，从N中随机取一个数作为b，共有36=18种结果，而使2ba，若a=1，若b=1；若a=2，b=1或1；若a=3，则b=1，1共有5种结果，由古典概型公式得到所取得两个数中能使2ba时的概率为（2）点（a，b）是区域 内的随机点，对应的平面区域如图，面积为=18，A（6，0），解得到B（4，2），所以区域面积为=6，所以由几何概型概率公式得到能使2ba时的概率为点评：本题主要考查古典概型和几何概型的概率公式的计算，古典概型求出事件的所有结果m，以及某事件的结果n，由古典概型公式可得概率；几何概型要明确事件的测度，利用测度比求概率18已知：正方体ABCDA1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点（1）求证：B1D1AE；（2）求证：AC平面B1DE；（3）（文）求三棱锥ABDE的体积（理）求三棱锥AB1DE的体积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：证明题；综合题分析：（1）先证BD面ACE，从而证得：B1D1AE；（2）作BB1的中点F，连接AF、CF、EF由E、F是CC1、BB1的中点，易得AFED，CFB1E，从而平面ACF面B1DE证得AC平面B1DE；（3）易知底为面ABD，高为EC，由体积公式求得三棱锥ABDE的体积解答：解：（1）证明：连接BD，则BDB1D1，ABCD是正方形，ACBDCE面ABCD，CEBD又ACCE=C，BD面ACEAE面ACE，BDAE，B1D1AE（2）证明：作BB1的中点F，连接AF、CF、EFE、F是CC1、BB1的中点，CEB1F，四边形B1FCE是平行四边形，CFB1EE，F是CC1、BB1的中点，又，四边形ADEF是平行四边形，AFED，AFCF=F，B1EED=E，平面ACF面B1DE又AC平面ACF，AC面B1DE（3）（文） （理）AC面B1DE A 到面B1DE 的距离=C到面B1DE 的距离 点评：本题主要考查线面垂直和面面平行的判定定理，特别要注意作辅助线19圆C过点（0，1），圆心在y轴的正半轴上，且与圆（x4）2+（y4）2=9外切（）求圆C的方程；（）直线l过点（0，2）交圆C于A、B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l的倾斜角的取值范围考点：直线和圆的方程的应用 专题：综合题；直线与圆分析：（）设出圆的方程，利用圆C过点（0，1），圆与圆（x4）2+（y4）2=9外切，建立方程，即可求圆C的方程；（）设直线l的方程为，求出以AB为直径的圆半径R，原点与l的距离d，利用原点O在以AB为直径的圆内，可得dR，从而可求直线l的倾斜角的取值范围解答：解：（）圆C的圆心在y轴的正半轴上，故可设方程为x2+（yb）2=r2，b0，r0由条件知 （1b）2=r2（1）圆与圆（x4）2+（y4）2=9外切，两个圆心间的距离等于两个半径之和，（04）2+（b4）2=（r+3）2（2）由（1）（2）解得b=1，r=2从而圆C的方程为x2+（y1）2=4；（）设直线l的方程为y=kx+2，即kxy+2=0C与l的距离d=，以AB为直径的圆半径R=原点O在以AB为直径的圆内，原点与l的距离d=dR，即k或k斜率不存在时也成立直线l的倾斜角的取值范围为（arctan，arctan）点评：本题考查圆的标准方程，考查点与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题20如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点（）求证：ACDE；（）已知二面角APBD的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值考点：用空间向量求直线与平面的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题 专题：综合题分析：（I）证明线线垂直，正弦证明线面垂直，即证AC平面PBD；（II）分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，用坐标表示点，求得平面PBD的法向量为，平面PAB的法向量为，根据二面角APBD的余弦值为，可求t的值，从而可得P的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC与平面PAB所成的角解答：（I）证明：PD平面ABCD，AC平面ABCDPDAC又ABCD是菱形，BDAC，BDPD=DAC平面PBD，DE平面PBDACDE（II）解：分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，则由（I）知：平面PBD的法向量为，令平面PAB的法向量为，则根据得因为二面角APBD的余弦值为，则，即，设EC与平面PAB所成的角为，点评：本题考查线线垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，利用空间向量解决线面角问题，属于中档题21已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，（1）求椭圆的方程；（2）如果直线x=t（tR）与椭圆相交于A，B，若C（3，0），D（3，0），证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若，证明：+为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程 专题：综合题分析：（1）根据椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，建立方程，结合b2=a2c2，即可求得椭圆方程；（2）设出A（t，y0），B（t，y0），K（x，y），利用A在椭圆上有，求出CA，DB的方程，相乘，即可得到结论；（3）设直线l的方程为y=k（x1），与椭圆方程联立，利用韦达定理及，求出，的值，即可得出结论解答：解：（1）由已知得，解得b2=a2c2=1椭圆方程为（2）依题意可设A（t，y0），B（t，y0），K（x，y），且有又，将代入即得所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线上（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x1），设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组消去y并整理，得（1+9k2）x218k2x+9k29=0，所以，因为，所以（x3，y3）（0，y5）=（1，0）（x3，y3），即，所以x3=（1x3），又l与x轴不垂直，所以x31，所以，同理 所以=将代入上式可得 （16分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查方程与曲线的关系，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组，利用韦达定理是关键