山东省2013年高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形 理

专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换及解三角形真题试做1(2012重庆高考，理5)设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan()的值为()A3 B1 C1 D32(2012山东高考，理7)若，sin 2，则sin ()A B C D3(2012天津高考，理6)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C()A B C D4(2012湖北高考，理11)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角C_.5(2012课标全国高考，理17)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识近几年高考题目中每年有12个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：边和角的计算；三角形形状的判断；面积的计算；有关的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视热点例析热点一三角恒等变换及求值【例1】(2012山东淄博一模，17)已知函数f(x)2cos2sin x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若为第二象限角，且f，求的值规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的分拆与角的配凑：二倍角只是个相对概念，如是的二倍角，是的二倍角等；，()等；熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1sin 2sin2cos22sin cos (sin cos )2，cos 等(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂(4)角的合成及三角函数名的统一：asin bcos sin().变式训练1 (2012山东济宁模拟，17)已知函数f(x)sin xcos x(xR，0)的最小正周期为6.(1)求f的值；(2)设，f，f(32)，求cos()的值热点二三角函数、三角形与向量等知识的交会【例2】(2012山东烟台适用性测试一，理17)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，m(2bc，cos C)，n(a，cos A)，且mn.(1)求角A的大小；(2)求函数y2sin2Bcos的值域规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正、余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值(2)求角的大小一定要有两个条件：是角的范围；是角的某一三角函数值用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用(3)三角形的内角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值均为正值任意两角的和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方变式训练2 (2012湖北武汉4月调研，18)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B60，cos(BC).(1)求cos C的值；(2)若a5，求ABC的面积热点三正、余弦定理的实际应用【例3】某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB.现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A，B分别设在公路上离市中心O多远处才能使A，B之间的距离最短？并求最短距离(结果保留根号)规律方法 (1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行当与满足条件_时，该船没有触礁危险思想渗透化归转化思想解答三角恒等变换问题求解恒等变换问题的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用；(3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等【典型例题】(2012福建高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解法一：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.1已知cos xsin x，则sin()A BC D2在ABC中，如果0tan Atan B1，那么ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定3(2012山东烟台适用性测试一，5)已知倾斜角为的直线l与直线x2y20平行，则tan 2的值为()A BC D4(2012江西南昌二模，5)已知cos，则cos xcos的值是()A BC1 D15(2012山东淄博一模，10)在ABC中，已知bcos Cccos B3acos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，则cos B的值为()A BC D6(原创题)已知sin x，则sin 2_.7(2012湖南长沙模拟，18)已知函数f(x)3sin2x2sin xcos x5cos2x.(1)若f()5，求tan 的值；(2)设ABC三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求f(x)在(0，B上的值域8(2012广东广州二模，16)已知函数f(x)Asin(A0，0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为，.(1)求A和的值；(2)已知，且sin ，求f()的值参考答案命题调研明晰考向真题试做1A解析：因为tan ，tan 是方程x23x20的两根，所以tan tan 3，tan tan 2，而tan()3，故选A.2D解析：由，得2.又sin 2，故cos 2.故sin .3A解析：在ABC中，由正弦定理：，cos B.cos Ccos 2B2cos2B1.4解析：由(abc)(abc)ab，整理可得，a2b2c2ab，cos C，C.5解：(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.精要例析聚焦热点热点例析【例1】解：(1)f(x)1cos xsin x12cos，函数f(x)的最小正周期为2.又1cos1，故函数f(x)的值域为1,3(2)f，12cos ，即cos .，又为第二象限角，且cos ，sin .原式.【变式训练1】解：(1)f(x)sin xcos x22sin.函数f(x)的最小正周期为6，T6，即.f(x)2sin.f2sin2sin.(2)f2sin2sin ，sin .f(32)2sin2sin2cos ，cos .，cos ，sin .cos()cos cos sin sin .【例2】解：(1)由mn，得(2bc)cos Aacos C0，(2sin Bsin C)cos Asin Acos C0，2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos Csin(AC)sin(B)sin B，在锐角三角形ABC中，sin B0，cos A，故A.(2)在锐角三角形ABC中，A，故B.y2sin2Bcos1cos 2Bcos 2Bsin 2B1sin 2Bcos 2B1sin.B，2B.sin1，y2.函数y2sin2Bcos的值域为.【变式训练2】解：(1)在ABC中，由cos(BC)，得sin(BC)，cos Ccos (BC)Bcos(BC)cos Bsin(BC)sin B.(2)由(1)，得sin C，sin Asin(BC).在ABC中，由正弦定理，得，c8.故ABC的面积为Sacsin B5810.【例3】解：在AOB中，设OAa，OBb.因为OA为正西方向，OB为东北方向，所以AOB135.又O到AB的距离为10，所以SABOabsin 135|AB|10，得|AB|ab.设OAB，则OBA45.因为a，b，所以ab.当且仅当2230时，“”成立所以|AB|20(1)当且仅当2230时，“”成立所以，当ab10时，A，B之间的距离最短，且最短距离为20(1)km.即当A，B分别在OA，OB上离市中心O 10km处时，能使A，B之间的距离最短，最短距离为20(1)km.【变式训练3】mcos cos nsin()解析：MAB90，MBC90MABAMB90AMB，所以AMB.由题可知，在ABM中，根据正弦定理得，解得BM.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90)n，所以与满足mcos cos nsin()时船没有触礁危险创新模拟预测演练1B解析：由cos xsin x222sin，可得sin.2C解析：由题意0A，0B，tan Atan B0，则A，B两角为锐角，又tan(AB)0，则AB为锐角，则角C为钝角，故选C.3B解析：已知倾斜角为的直线l与直线x2y20平行，则tan ，tan 2.4C解析：cos xcoscos xcos xcossin xsincos xsin xcos1.5A解析：因为bcos Cccos B3acos B，所以sin Bcos Ccos Bsin C3sin Acos B，即sin(BC)3sin Acos B，即cos B.62解析：sin 2sincos 2x(12sin2x)2sin2x1221312.7解：(1)由f()5，得3sin22sin cos 5cos25，3sin 255.sin 2cos 21，即sin 21cos 22sin cos 2sin2，sin 0或tan .tan 0或tan .(2)由，得，则cos B，即B，又f(x)3sin2x2sin xcos x5cos2xsin 2xcos 2x42sin4，由0x，则sin1，故5f(x)6，即值域是5,68解：(1)函数f(x)的图象的最高点坐标为，A2.依题意，得函数f(x)的周期T2，2.(2)由(1)得f(x)2sin.，且sin ，cos .sin 22sin cos ，cos 212sin2.f()2sin2.