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专题二函数与导数第2讲函数与方程及函数的应用真题试做1(2012湖南高考，文9)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数当x0，时，0f(x)1；当x(0，)且x时，f(x)0，则函数yf(x)sin x在2，2上的零点个数为()A2 B4 C5 D82(2012陕西高考，文11)设函数则f(f(4)_.3(2012山东高考，文15)若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.4(2012课标全国高考，文16)设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.5(2012陕西高考，文21)设函数f(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明：f(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(1)|1，|f(1)|1，求b3c的最小值和最大值；(3)设n2，若对任意x1，x21,1，有|f(x1)f(x2)|4，求b的取值范围6(2012江苏高考，17)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由考向分析通过分析近三年的高考试题可以看到对函数与方程的考查主要体现在以下几个方面：一、结合函数与方程的关系，求函数的零点；二、结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断；三、利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或范围对函数的实际应用问题的考查，题目大多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等基础知识和方法热点例析热点一确定函数的零点【例1】设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点规律方法 确定函数零点的常用方法：(1)解方程判定法，方程易解时用此法；(2)利用零点存在的判定定理；(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解变式训练1 方程|x|cos x在(，)内()A没有根B有且仅有一个根C有且仅有两个根D有无穷多个根热点二函数零点的应用【例2】(1)m为何值时，f(x)x22mx3m4，有且仅有一个零点？有两个零点且均比1大？(2)若函数F(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围规律方法 解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，再者，对于存在零点求参数范围问题，可通过分离参数，从而转化为求函数值域问题变式训练2 已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_热点三函数的实际应用【例3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.规律方法 应用函数知识解应用题的步骤：(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解(3)把计算获得的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答变式训练3 某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x6)，年销量为u万件，若已知u与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年利润y(万元)关于x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润思想渗透函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程(方程组)或者构造方程，通过解方程(方程组)或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程(方程组)的观点观察、处理问题(3)方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通过方程进行研究；方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要【典型例题】如图所示，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(cR)E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|S成正比，比例系数为；其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量当移动距离d100，面积S时，(1)写出y的表达式；(2)设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少解：(1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为|vc|，故y(3|vc|10)(2)由(1)知，当0vc时，y(3c3v10)15；当cv10时，y(3v3c10)15.故y当0c时，y是关于v的减函数故当v10时，ymin20.当c5时，在(0，c上，y是关于v的减函数；在(c,10上，y是关于v的增函数故当vc时，ymin.1已知f(x)3(xa)(xb)，并且m，n是方程f(x)0的两个根，则实数a，b，m，n的大小关系可能正确的是()Amabn BambnCamnb Dmanb2(2012山东潍坊一模，12)若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：P，Q都在函数yf(x)的图象上；P，Q关于原点对称则称点对P，Q是函数yf(x)的一对“友好点对”(点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”)已知函数f(x)则此函数的“友好点对”有()A0对 B1对 C2对 D3对3函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5 C6 D74设方程，的根分别为x1，x2，则()A0x1x21 Bx1x21C1x1x22 Dx1x225(2012江苏高考，10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_6(2012北京高考，理14)已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若同时满足条件：xR，f(x)0或g(x)0；x(，4)，f(x)g(x)0.则m的取值范围是_7(2012北京高考，文12)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)_.8某市近郊有一块大约500 m500 m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3 000 m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S m2.(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？参考答案命题调研明晰考向真题试做1B解析：由x(0，)且x时，f(x)0可知：当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增又x0，时，f(x)(0,1)，且f(x)是最小正周期为2的偶函数，可画出f(x)的草图为：对于yf(x)sin x的零点，可在同一坐标系中再作出ysin x的图象，可知在2，2上零点个数为4.24解析：f(4)16，f(f(4)f(16)4.3解析：当0a1时，f(x)ax在1,2上的最大值为a14，即a，最小值为a2m，从而m，这时g(x)，即g(x)在0，)上是增函数当a1时，f(x)ax在1,2上的最大值a24得a2，最小值a1m即m，这时g(x)(14m)在0，)上为减函数，不合题意，舍去所以a.42解析：f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，g(x)是奇函数由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.5解：(1)当b1，c1，n2时，f(x)xnx1.ff(1)10，f(x)在内存在零点又当x时，f(x)nxn110，f(x)在上是单调递增的f(x)在内存在唯一零点(2) 方法一：由题意知即由图像知，b3c在点(0，2)取到最小值6，在点(0,0)取到最大值0，b3c的最小值为6，最大值为0.方法二：由题意知1f(1)1bc1，即2bc0， 1f(1)1bc1，即2bc0， 2得62(bc)(bc)b3c0，当b0，c2时，b3c6；当bc0时，b3c0，b3c的最小值为6，最大值为0.方法三：由题意知解得b，c，b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1，1f(1)1.6b3c0.当b0，c2时，b3c6；当bc0时，b3c0，b3c的最小值为6，最大值为0.(3)当n2时，f(x)x2bxc.对任意x1，x21,1都有|f(x1)f(x2)|4等价于f(x)在1,1上的最大值与最小值之差M4.据此分类讨论如下：当1，即|b|2时，M|f(1)f(1)|2|b|4，与题设矛盾当10，即0b2时，Mf(1)f4恒成立当01，即2b0时，Mf(1)f4恒成立综上可知，2b2.6解：(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6(千米)时，可击中目标精要例析聚焦热点热点例析【例1】D解析：法一：fln 10，f(1)ln 10，f(e)ln e10，ff(1)0，f(1)f(e)0，故yf(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点法二：在同一坐标系中分别画出yx与yln x的图象如图所示由图象知零点存在于区间(1，e)内【变式训练1】C解析：在同一直角坐标系中作出函数y|x|和ycos x的图象，如图当x时，y|x|1，ycos x1.当x时，y|x|1，ycos x1，所以两函数的图象只在内有两个交点，所以|x|cos x在(，)内有两个根【例2】解：(1)若函数f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点，则等价于4m24(3m4)0，即4m212m160，即m23m40，解得m4或m1.设两零点分别为x1，x2，且x11，x21，x1x2.则x1x22m，x1x23m4，故只需故m的取值范围是m|5m1(2)若F(x)|4xx2|a有4个零点，即|4xx2|a0有四个根，即|4xx2|a有四个根令g(x)|4xx2|，h(x)a.则作出g(x)的图象，由图象可知要使|4xx2|a有四个根，则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，0a4，即4a0.【变式训练2】(0,1)解析：由函数图象知，如图所示，当0k1时直线yk与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)k有两个不同的实根【例3】解：(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr.由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c.因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，0r2.由于c3，所以c20.当r30时，r.令m，得m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m2即c时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0；当r(m,2)时，y0.所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2即3c时，当r(0,2)时，y0，函数单调递减所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3c时，建造费用最小时r2；当c时，建造费用最小时r.【变式训练3】解：(1)设uk，售价为10元时，年销量为28万件，28k，解得k2.u22x221x18.即y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108.(2)由(1)得y6x266x1086(x211x18)6(x2)(x9)，令y0得x2(x6，舍去)或x9.显然，当x(6,9)时，y0，当x(9，)时，y0.函数y2x333x2108x108在(6,9)上是增函数，在(9，)上是减函数当x9时，y取最大值，且ymax135.售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元创新模拟预测演练1C解析：方法一：设(x)(xa)(xb)，由题意，f(m)3(ma)(mb)0，即(m)(ma)(mb)30，同理可得(n)30，如图所示，故amnb.故选C.方法二：令g(x)(xa)(xb)，h(x)3.则m，n即为方程g(x)h(x)的根，也即上述两函数图象的交点的横坐标，如图所示，故选C.2C解析：P，Q为“友好点对”，不妨设点P(x0，y0)(x00)，则Q(x0，y0)所以即(1)方程组(1)的解的个数即是“友好点对”数，在同一坐标系作出函数图象如图，有两个交点，所以有2对“友好点对”3C解析：令f(x)xcos x20可得，x0或cos x20，故x0或x2k，kZ.又x0,4，则x20,16，则k0,1,2,3,4符合题意，故在区间0,4上的零点个数为6.4A解析：的根x2.设，因为f(1)f(2)0，所以1x12.故0x1x21.510解析：根据题意，可得即解得故a3b10.6(4，2)解析：(一)由题意可知，m0时不能保证对xR，f(x)0或g(x)0成立(1)当m1时，f(x)(x2)2，g(x)2x2，此时显然满足条件；(2)当1m0时，2m(m3)，要使其满足条件，则需解得1m0；(3)当m1时，(m3)2m，要使其满足条件，则需解得4m1.因此满足条件的m的取值范围为(4,0)(二)在满足条件的前提下，再探讨满足条件的m的取值范围(1)当m1时，在(，4)上，f(x)与g(x)均小于0，不合题意；(2)当m1时，则需2m4，即m2，所以4m2；(3)当1m0时，则需(m3)4，即m1，此时无解综上所述满足两个条件的m的取值范围为(4，2)72解析：由已知可得，lg(ab)1，f(a2)f(b2)lg a2lg b2lg(a2b2)2lg(ab)212.8解：(1)由已知xy3 000,2a6y，则y(6x500)，S(x4)a(x6)a(2x10)a(2x10)(x5)(y6)3 0306x(6x500)(2)S3 0303 03023 03023002 430(m2)，当且仅当6x，即x50时，等号成立，此时x50(m)，y60(m)，Smax2 430(m2)即设计x50 m，y60 m时，运动场地占地面积最大，最大值为2 430 m2.
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