2021-2022学年北师大新版八年级上册数学《第1章 勾股定理》单元测试卷【含答案】

2021-2022学年北师大新版八年级上册数学第1章 勾股定理单元测试卷一选择题1下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A2，4，5B6，8，11C5，12，12D1，1，2在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（）A3，4，6B7，24，25C6，8，10D9，12，153如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（）mA3B4C5D84如图，RtABC中，ACB90，以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S14，S316，则S2（）A20B12C2D25下列数据能作为直角三角形三边长的是（）A6，7，8B1，2C5，12，14D7，24，266在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）AABBBAC90CSABC10D点A到直线BC的距离是27下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（）ABCD8如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE10，BE24，则EF的长是（）A14B13C14D149在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A如果CBA，则ABC是直角三角形B如果c2b2a2，则ABC是直角三角形C如果A：B：C1：2：3，则ABC是直角三角形D如果a2+b2c2，则ABC不是直角三角形10小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（）A8米B10米C12米D13米二填空题11如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是 m12在RtABC中，C90，BC12cm，SABC30cm2，则AB 13附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；请你写出有以上规律的第组勾股数： 14观察下列式子：当n2时，a224，b2213，c22+15n3时，a236，b3218，c32+110n4时，a248，b42115，c42+117根据上述发现的规律，用含n（n2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a ，b ，c 15在九章算术中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺16由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（ab）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2c2，还可以用来证明结论：若a0、b0且a2+b2为定值，则当a b时，ab取得最大值17如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a+b，ab2，则小正方形的面积为 18在ABC中，AB20，AC13，BC边上的高AD12，则ABC的周长为 19若8，a，17是一组勾股数，则a 20如图所示的网格是正方形网格，则BACDAE （点A，B，C，D，E是网格线交点）三解答题21如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竿，它能否做帐篷的支撑竿，请说明理由22已知，如图，在ABC中，D是BC的中点，DEBC，垂足为D，交AB于点E，且BE2EA2AC2（1）判断ABC的形状并说明理由；（2）若DE3，BD4，求AE的长23（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4ab+（ab）2，所以4ab+（ab）2c2，即a2+b2c2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2c2图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a2b）2a24ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段24如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB5km，BC12km，AC13km要从B修一条公路BD直达AC已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？25我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82452100，所以这个三角形是常态三角形（1）若ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）；（2）若RtABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 （请按从小到大排列）；（3）如图，RtABC中，ACB90，BC6，点D为AB的中点，连接CD，若BCD是常态三角形，求ABC的面积26我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；（2）如图，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60后得到DBE，连接AD、DC，若DCB30，试证明；DC2+BC2AC2（即四边形ABCD是勾股四边形）27数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）答案与试题解析一选择题1解：A、22+422052，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、62+82100112，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、52+122169122，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、12+122（）2，能够构成直角三角形，故本选项符合题意故选：D2解：A、32+4262，故A符合题意；B、72+242252，故B不符合题意；C、62+82102，故C不符合题意；D、92+122152，故D不符合题意故选：A3解：如图所示：ABC是直角三角形，AB3m，AC4m，BC5（m），这棵树原高：3+58（m），故选：D4解：由勾股定理得，AC2AB2BC216412，则S2AC212，故选：B5解：A、62+7282，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、12+（）222，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、122+52142，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、72+242262，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B6解：由题意可得，AB2，故选项A正确；AC，BC5，AB2+AC2BC2，ABC是直角三角形，BAC90，故选项B正确；SABC5，故选项C错误；作ADBC于点D，则5，即5，解得，AD2，即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确；故选：C7解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C8解：AE10，BE24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长241014，EF14故选：D9解：A、CBA，即A+BC，又A+B+C180，则C90，那么ABC是直角三角形，说法正确；B、c2b2a2，即a2+c2b2，那么ABC是直角三角形且B90，说法正确；C、A：B：C1：2：3，又A+B+C180，则C90，则ABC是直角三角形，说法正确；D、a3，b5，c4，32+5242，但是32+4252，则ABC可能是直角三角形，故原来说法错误故选：D10解：如图，已知ABAC，CDBD，CHAB，CD1米，CH5米，设ABACx米在RtACH中，AC2AH2+CH2，x252+（x1）2，x13，AB13（米），故选：D二填空题11解：由题意得BC8m，AC6m，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB10（米）所以大树的高度是10+616（米）故1612解：RtABC中，C90，BC12cm，SABCACBC30cm2，AC5cm，根据勾股定理得：AB13cm故13cm13解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2（x+1）2，解得x60，则得第5组数是：11、60、61故11、60、6114解：当n2时，a224，b2213，c22+15n3时，a236，b3218，c32+110n4时，a248，b42115，c42+117勾股数a2n，bn21，cn2+1故2n，n21，n2+115解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：x2+32（10x）2，解得：x4.55，答：折断处离地面4.55尺故4.5516解：如图，作斜边c上高h，（ab）20，a2+b22ab0，又a2+b2c2，a2+b2为定值，ab，ab最大值为，a，b为直角边的直角三角形面积abch，ch，h，等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，当ab时，h，故17解：观察图形可知，小正方形的边长ab，a+b，ab2，小正方形的面积（ab）2（a+b）24ab1587故718解：如图1，ABC中，AB20，AC13，BC边上高AD12，在RtABD中AB20，AD12，由勾股定理得，BD16，在RtADC中AC13，AD12，由勾股定理得，DC5，则BC的长为BD+DC9+1621，ABC的周长为：13+20+2154，如图2，同（1）的作法相同，BC11，ABC的周长为：13+20+1144，故44或5419解：a为最长边，a，不是正整数，不符合题意；17为最长边，a15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意故1520解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AC2AG212+225，CG212+3210，AC2+AG2CG2，CAG90，CAG是等腰直角三角形，ACG45，CFAB，ACFBAC，在CFG和ADE中，CFGADE（SAS），FCGDAE，BACDAEACFFCGACG45，故45三解答题21解：ABC中，AC5.5米，BC4.5米，AB3.2米；AC230.25，BC220.25，AB210.24；30.2520.25+10.24，不能做帐篷的支撑竿22解：（1）ABC是直角三角形，理由如下：连接CE，如图，D是BC的中点，DEBC，CEBE，BE2EA2AC2，CE2EA2AC2，EA2+AC2CE2，ACE是直角三角形，即A90，ABC是直角三角形；（2）DEBC，DE3，BD4，BE5CE，AC2EC2AE225EA2，D是BC的中点，BD4，BC2BD8，在RtBAC中：BC2BA264（5+EA）2AC2，64（5+AE）225EA2，解得AE23解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+ab+b2，也利用表示为ab+c2+ab，a2+ab+b2ab+c2+ab，即a2+b2c2；（2）直角三角形的两直角边分别为3，4，斜边为5，设斜边上的高为h，直角三角形的面积为345h，h，故答案为；（3）图形面积为：（a2b）2a24ab+4b2，边长为a2b，由此可画出的图形为：24解：BC2+AB2122+52169，AC2132169，BC2+AB2AC2，ABC90，当BDAC时BD最短，造价最低SABCABBCACBD，BDkm26000元答：最低造价为元25解：（1）22+424（）220，ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形故是；（2）RtABC是常态三角形，设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，则a2+b2c2，a2+c24b2，则2a23b2，故a：b：，设ax，bx，则cx，此三角形的三边长之比为：故：；（3）RtABC中，ACB90，BC6，点D为AB的中点，BCD是常态三角形，当ADBDDC，CD2+BD2462时，解得：BDDC6，则AB12，故AC6，则ABC的面积为：66当ADBDDC，CD2+BC24BD2时，解得：BDDC2，则AB4，故AC2，则ABC的面积为：626故ABC的面积为或626（1）解：直角梯形和矩形的角都为直角，所以它们一定为勾股四边形（2）证明：连接CE，BCBE，CBE60CBE为等边三角形，BCE60又DCB30DCE90DCE为直角三角形DE2DC2+CE2ACDE，CEBCDC2+BC2AC227解：（1）如图3所示图形的面积表示为a2+b2+2aba2+b2+ab，图形的面积也可表示为c2+2abc2+ab；a2+b2+abc2+ab，a2+b2c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（2）如图4所示：大正方形的面积表示为（a+b）2；大正方形的面积也可表示为c2+4ab（a+b）2c2+4ab，a2+b2+2abc2+2ab，a2+b2c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方