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单元评估检测（七）（第七章）（120分钟 150分） 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知直线a、b是两条异面直线,直线c平行于直线a，则直线c与直线b( )(A)一定是异面直线(B)一定是相交直线(C)不可能是平行直线(D)不可能是相交直线2.在ABC中，AB=2,BC=1.5,ABC=120,若使ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )(A) (B) (C) (D)3.如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则( )(A)EF与GH互相平行(B)EF与GH异面(C)EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上(D)EF与GH的交点M一定在直线AC上4.设m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( )(A)若mn，m,n,则(B)若m,n,则mn(C)若m，n,则mn(D)若mn,m,n,则5.(2011江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( )6（2012绍兴模拟）设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )(A)若l,则l(B)若l,则l(C)若l,则l(D)若l,则l7.如图，平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使面ABD面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)18.如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：点M到AB的距离为；三棱锥C-DNE的体积是；AB与EF所成的角是.其中正确命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)39如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )(A)动点A在平面ABC上的射影在线段AF上(B)恒有平面AGF平面BCED(C)三棱锥AEFD的体积有最大值(D)异面直线AE与BD不可能垂直10（易错题）过正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中任意两点的直线，与平面A1BC1垂直的直线条数是( )(A)1条 (B)4条 (C)6条 (D)8条二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分.请把正确答案填在题中横线上)11一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是_.12.如图，在三棱锥S-ABC中，SAB=SAC=ACB=90.AC=2，BC=4，SB=，则直线AB与平面SBC所成角的正弦值是_.13.如图，正四面体ABCD的棱长为1，G是ABC的中心，M在线段DG上，且AMB=90，则GM的长为_.14已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是_.15一个五面体的三视图如图，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为_16如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、C1D1、C1C、A1B1、B1B的中点，则下列判断:（1）PQ与RS共面；（2）MN与RS共面；（3）PQ与MN共面.则正确结论的序号是_.17（2011杭州模拟）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_.三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2011陕西高考)如图，在ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积.19.(14分)(预测题)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DCAB，BAD=90，且AB=2AD=2DC=2PD=4(单位：cm)，E为PA的中点.(1)如图，若正视方向与AD平行，请作出该几何体的正视图并求出正视图的面积；(2)证明：DE平面PBC；(3)证明：DE平面PAB.20（14分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高.（1）证明：平面PAC平面PBD；（2）若AB=,APB=ADB=60,求四棱锥P-ABCD的体积.21（15分）（2011新课标全国卷)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD（1）证明：PABD;（2）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高22（15分）（探究题）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC=45,AB=,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.(1)求证：平面PCD平面PAC；(2)求二面角P-CD-A的大小；(3)求直线PB与平面PCD所成角的大小.答案解析1.【解析】选C.若cb，ca，ab,与已知矛盾.2.【解题指南】ABC绕直线BC旋转一周后所得几何体为一圆锥，但其内部缺少一部分.用大圆锥的体积减去小圆锥的体积即为所求几何体的体积.【解析】选A.旋转后得到的几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥.故所求体积为3.【解析】选D.依题意可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E、F、G、H共面，因为EHBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上，故选D.4.【解析】选C.A中的平面,可能相交；B中的直线m,n可能相交、平行或异面；C中，由条件可得m，进而有mn；D中的平面、可能相交.故选C.5.【解题指南】在左视图中，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，易得答案.【解析】选D.根据正投影的性质，结合左视图的要求知，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，结合选项即得选项D正确.6. 【解析】选C.若l,则l或l,故A不对；若l,则l或l,故B不对;若l,则l,故C正确;若l,则l,的位置不确定，故D不对.7. 【解析】选B.因为ABBD,面ABD面BCD，且交线为BD，故有AB面BCD，则面ABC面BCD，同理CD面ABD，则面ACD面ABD，因此共有3对互相垂直的平面.8. 【解析】选D.依题意可作出正方体的直观图如图，显然M到AB的距离为正确，而VC-DNE=正确，AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角，即为，正确.9. 【解析】选D.依题意，DE平面AGA,DE平面AGF，DE平面BCED，故平面AGF平面BCED，故B正确；当AG平面EFD时，三棱锥A-EFD的体积最大，故C正确；当AEEF时，AEBD，故D不正确，选项A正确，故选D.10.【解析】选A.A1C1D1B1，A1C1DD1，D1B1DD1D1，A1C1平面DD1B1，A1C1DB1.同理可证BC1DB1，因此DB1平面A1BC1.而由顶点组成的其他直线中没有与DB1平行的直线，故其他直线与平面A1BC1均不垂直，因此符合要求的直线只有1条【变式备选】平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6【解析】选C.如图，用列举法知符合要求的棱为：BC、CD、C1D1、BB1、AA1，共5条11.【解题指南】根据组合体的特征求得三棱柱的底面边长和高，然后求体积即可.【解析】易求得球的半径为2，球与正三棱柱各个面都相切，可知各切点为各个面的中心，棱柱的高等于球的直径，设棱柱底面三角形的边长为a，则有a2a，故棱柱的体积V()24.答案：12.【解题指南】可以利用题目中的垂直关系，找点A在平面SBC内的射影，进一步找出线面角，解三角形求其正弦值.【解析】如图所示，由题意，SA平面ACB.SABC,又BCAC，ACSA=A,BC平面SAC.在平面SAC内作ADSC，则BCAD.AD平面SBC，连接BD，则ABD就是直线AB与平面SBC所成的角.在RtADB中，答案：13.【解题指南】由题意可判断AMB为等腰直角三角形，由此求出AM的长，进而可得GM的长.【解析】G是边长为1的等边三角形ABC的中心,GA=GB= ，MG平面ABC，易得RtMAGRtMBG,MA=MB，AMB=90，AB=1，MA=，答案：14.【解析】，同理：，故，得.答案：15.【解析】由三视图可知，此几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其体积为V(12)222.答案：216.【解析】可证PQ与RS平行，从而共面，NQ与PM平行，故PQ与MN也共面，故(1)、(3)正确，MN与RS是异面直线，故(2)错.答案：(1)、(3)17【解析】如图，A1B1=AB=2，B1C1=B1B=BC=1.连接B1C交BC1于点O，由于D1C1A1B1,故A1B1与平面A1BC1所成的角等于D1C1与平面A1BC1所成的角.易知B1A1B=B1A1C1,A1O平分BA1C1,故A1B1在平面A1BC1内的射影在A1O上，B1A1O为A1B1与平面A1BC1所成的角.在RtOA1B1中，OB1A1=90,答案：18.【解析】(1)折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，AD平面ABD. 平面ABD平面BDC.(2)由(1)知，DADB,DBDC,DCDA,DB=DA=DC=1， AB=BC=CA= ,从而SDAB=SDBC=SDCA= 11= ，SABC= sin60=,故表面积：.19.【解析】(1)正视图如图：正视图的面积S= 42=4(cm2).(2)设PB的中点为F，连接EF、CF，EFAB，又DCAB，EFDC，且EF=DC= AB，故四边形CDEF为平行四边形，可得DECF，DE平面PBC，CF平面PBC，故DE平面PBC.(3)PD垂直于底面ABCD，AB平面ABCD，ABPD，又ABAD，PDAD=D，AD平面PAD，PD平面PAD，AB平面PAD，ED平面PAD，EDAB，又PD=AD，E为PA的中点，故EDPA；PAAB=A，PA平面PAB，AB平面PAB，DE平面PAB.【方法技巧】三视图的考查方式三视图是新课标的新增内容，主要考查学生的空间想象能力，新增内容总会重点考查，所以近年来三视图的有关问题一直是高考考查的重点和热点，其考查方式有以下特点：一是给出空间图形选择其三视图；二是给出三视图，判断其空间图形或还原直观图，有时也会和体积、面积、角度的计算或线面位置关系的判定相结合.20【解析】(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高, 所以ACPH，又ACBD,PH,BD都在平面PBD内,且PHBD=H.所以AC平面PBD，故平面PAC平面PBD. (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD，ACBD,AB=.所以HA=HB=.因为APB=ADB=60,所以PA=PB=,HD=HC=1可得PH=,故等腰梯形ABCD的面积为S=ACBD=2+.所以四棱锥的体积为V=（2+）= .21【解析】（1）因为DAB=60，AB=2AD,由余弦定理得BD=AD,从而BD2+AD2= AB2，故BDAD,又PD底面ABCD，可得BDPD,又PDAD=D,所以BD平面PAD,故 PABD.（2）如图，作DEPB，垂足为E.已知PD底面ABCD，则PDBC.由（1）知BDAD，又BCAD，所以BCBD,因为BDPD=D,故BC平面PBD，所以BCDE.则DE平面PBC.由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，根据DEPB=PDBD，得DE=，即棱锥D-PBC的高为.22【解析】(1)在ABC中，AB=，BC=4，ABC=45,由余弦定理，得AC=AB,ACB=ABC=45BAC=90,即ABAC.ABCD，CDACPA平面ABCDE，PACD.PAAC=A,CD平面PAC，平面PCD平面PAC.(2)由(1)知CD平面PAC.CDAC,CDPC.PCA是二面角P-CD-A的平面角.在RtPAC中，AC=,三角形PAB是等腰三角形，即PA=AB=,PCA=45即二面角P-CD-A的大小为45(3)方法一:过B点作BFDC,交DC的延长线于点F,则BFAC,且BF=AC.过B点作BQAP,且BQ=AP，连结QF，PQ,则PQABDF,平面QBF平面PAC.平面QBF平面PCD，交线为QF.在平面QBF内作BMQF，则BM平面PCD，连结PM则BPM就是直线PB与平面PCD所成的角.在RtQBF中，QB=PA=AB=，BF=AC=,则QF=4在RtPAB中，在RtBMP中，sinBPM= =.BPM=30即直线PB与平面PCD所成角的大小是30.方法二:PAB是等腰三角形,PA=AB=，因此又ABCD，点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离.在RtPAC中，PA=，AC=，PC=4.平面PAC平面PCD，交线为PC,作AHPC,则AH平面PCD，.点A到平面PCD的距离为2.B到平面PCD的距离h=2.设直线PB与平面PCD所成的角为,则=30即直线PB与平面PCD所成角的大小是30.- 15 -
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