向量在几何的应用

向量在平面几何中解题向量在平面几何中解题的应用的应用复习旧知复习旧知:（1）向量共线的条件）向量共线的条件:ab 与 共线 0,bRba（2）向量垂直的条件：）向量垂直的条件：0,00bababa（3）两向量相等的条件：）两向量相等的条件：,baba且方向相同。0/),(),(12212211yxyxbayxbyxa0),(),(21212211yyxxbayxbyxa21212211,),(),(yyxxbayxbyxa1.应用向量知识证明平面几何有关定理应用向量知识证明平面几何有关定理例例1、证明直径所对的圆周角是直角、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为直径，为直径，C为为 O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。CBAC 0CBAC解：设解：设 则则 ，由此可得：由此可得：,AOa OCb ,ACa b CB a b AC CBabab 2222abab220rr即即 ，ACB=900ACCB 思考：能否用向量坐标形式证明？思考：能否用向量坐标形式证明？练习练习:证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD求证：求证：222222BDACDACDBCAB分析：因为平行四边形对边平行且相等，故分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设设 其它线段对应向量用它们其它线段对应向量用它们表示。表示。bADaAB,ABDC222222ABBCCDDAACBD,AB a AD b 解：设解：设 ，则，则 ,;BC b DA a AC a b DB a b 2222222()ABBCCDDAab2222ACBDabab222222222222aab baab ba bab 222222ABBCCDDAACBD2.应用向量知识证明三线共点、三点共线应用向量知识证明三线共点、三点共线例例2、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH分析一：分析一：设设AD与与BE交于交于H，只要证只要证CHAB，即高即高CF与与CH重合，重合，即即CF过点过点H只须证只须证CHAB由此可设由此可设aBCbCA pCH 如何证如何证？0 ABp利用利用ADBC，BECA，对应向量垂直。，对应向量垂直。2.应用向量知识证明三线共点、三点共线应用向量知识证明三线共点、三点共线例例2、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH()00HABCbpab ap a ()00BHCAa p bb a p b 又0()0p a p bp a b 0CH BACH BA 设设aBCbCA pCH 例例2、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点HFABCDE分析二：分析二：如图建立坐标系如图建立坐标系，设设A(0,a)B(b,0)C(c,0)只要求出点只要求出点H、F的坐标，就可求出的坐标，就可求出 、的坐标进而确定的坐标进而确定两向量共线，即三点共线。两向量共线，即三点共线。CHCF 再设再设H(0,m)F(x,y),(mbBHCABH 0),)(,(ambcacmbCABHacbm),(),(baacacbcCH由由A、B、F共线；共线；CFAB对应向量共线及垂直解得：对应向量共线及垂直解得：AFAB/可得可得：0)(ayabx例、已知：如图例、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点HFABCDEAFAB/可得可得：0)(ayabxABCF 可得：可得：(,)(,)0()()0b a x c yb x cy aabcaybbcax2222),(2)2,2(222baabbcaabcabbcaCFCHbcabcCF22即即 而而CF、CH有公共点有公共点C，所以所以C、H、F共线，即共线，即 AD、BE、CF交于一点交于一点CHCF/练习：练习：如图已知如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分别为的中点分别为M、N，在，在BN延长线上取点延长线上取点P，使使NP=BN，在，在CM延长线上取点延长线上取点Q，使使MQ=CM。求证：。求证：P、A、Q三点共线三点共线ABCNMQP解：设解：设bACaAB,则则aAMbAN21,21由此可得由此可得abNPBN21baMQCM21练习：练习：如图已知如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分别为的中点分别为M、N，在，在BN延长线上取点延长线上取点P，使使NP=BN，在，在CM延长线上取点延长线上取点Q，使使MQ=CM。求证：。求证：P、A、Q三点共线三点共线ABCNMQPbaabPANPANPA)(,baabAQMQAMAQ)(,AQPA 即即 故有故有 ，且它们有，且它们有公共点公共点A，所以，所以P、A、Q三点共线三点共线AQPA/因为：因为：bACaAB,应用向量知识证明等式、求值应用向量知识证明等式、求值例、如图例、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，的中点，将正方形折起，使点将正方形折起，使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为若正方形面积为16，求，求AEM的面积的面积ABCDMNEF分析：如图建立坐标系，设分析：如图建立坐标系，设E(e,0)M(4,2),N是是AM的中点故的中点故N(2,1)2,4(AMAEANEN=(2,1)-(e,0)=(2-e,1)0)1,2()2,4(eENAM解得：解得：e=2.5故故AEM的面积为的面积为5例、如图例、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，的中点，将正方形折起，将正方形折起，使点使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为若正方形面积为64，求求AEM的面积的面积ABCDMNEF解：如图建立坐标系，设解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由正方形面，由正方形面积为积为64，可得边长为，可得边长为8，由题意可得，由题意可得M(8,4)，N是是AM的的 中点，故中点，故N(4,2)4,8(AMAEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)0)2,4()4,8(eENAM解得：解得：e=5 即即AE=51021BMAESAEM练习、练习、PQ过过OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：113mn分析分析:由题意由题意OP=mOA,OQ=nOB,联想线段的定比分点，利联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解用向量坐标知识进行求解。OABGPQ由由PO=mOA,QO=nOB可知：可知：OBnQOOAmPO,O分分 的比为的比为 ，O分分 的比为的比为PAQB-m -n?练习、练习、PQ过过OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：113mnOABGPQOBnQOOAmPO,由此可设由此可设 由向量定比由向量定比分点公式，可求分点公式，可求P、Q的坐标，而的坐标，而G为重心，为重心，其坐标也可求出，进而由向量其坐标也可求出，进而由向量 ，得到得到 m n 的关系。的关系。),()0,(221yxQxPGQPG/练习、练习、PQ过过OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：113mnOABGPQ证：如图建立坐标系，证：如图建立坐标系，设设),(),0,(),()0,(221cbBaAyxQxP所以重心所以重心G的坐标为的坐标为)3,3(cba 由由PO=mOA,QO=nOB可知可知：,POmOAQOnOB 即即O分分 的比为的比为-m，O分分 的比为的比为-n PAQB练习、练习、PQ过过OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：113mnOABGPQ即即O分分 的比为的比为-m，O分分 的的比为比为-n，求得求得PAQB),()0,(ncnbQmaP由向量由向量 可得：可得：GQPG/)3,3(cmabaPG)3,3(cncbanbGQ0)3(3)3)(3(banbccncmaba化简得：化简得：113mn巩固练习：巩固练习：1.证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.如图如图O为为ABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足222222ABOCCAOBBCOA求证求证：ABOCABCO