酉空间与Householder变换.ppt

矩阵分析与计算,参考书目： 矩阵计算的理论与方法，徐树方. 矩阵分析，horn.R.A和Johnson.C.R等. 矩阵论，方保镕等. 矩阵计算与应用，胡茂林. 矩阵论，程云鹏. 矩阵理论与方法，魏洪增.,酉空间与Householder 变换,1. 1酉空间的定义,1. 2酉空间的有关概念,1. 3 欧氏空间与酉空间的比较,欧氏空间与酉空间相比，基础数域由实数域变成了复数域，内积的对称性变成了共轭对称性.因此，欧氏空间的结构与酉空间的结构是不相同的.但酉空间的内积近似于欧氏空间的内积.这样，酉空间有与欧氏空间平行的一套理论.学习过程中应注意相近但又不完全相同的地方（见下表）,定理3 正规矩阵的不同特征值所对应的特征向量必正交.,证明留作习题,2.Householder矩阵,定义2 设 为单位向量，则称矩阵 为Householder矩阵，或称为Householder变换，记作H，即,2.1定义,2.2 Householder矩阵的性质,Householder矩阵H是酉矩阵. 即 证明略. (2)若H是 Householder矩阵，则 . 证明略. (3) Householder矩阵仅有两个不同特征值-1和1，其中1是n-1重的，-1是单重的.而且w是属于特征值-1的单位特征向量.,【证明1】Householder矩阵的特征多项式为 所以，1是矩阵的n-1重特征值；-1是矩阵的单特征值. 又因为 ,故w是属于特征值-1的单位特征向量.,注意 在以上证明中使用了行列式的性质：若,是,矩阵，,是,矩阵，且,则,，,【证明2】将单位向量,所以，,是n-1重的，-1是单重的.而且w是属于特征值,-1的单位特征向量.,.,若,是虚数，则,，取,，或,故,并选择正负号，使,由性质(4)有Householder矩阵,，使,.,(6)设,是n阶Householder矩阵，则,，,，,均为Householder矩阵. 【证明】 设,，其中,即,为单位向量.则,问题：若H与S均为Householder矩阵，,是否为Householder矩阵？,请同学们思考！,问矩阵,例4 设,求Householder矩阵,及实数,使,.,使,思考题： 若A是mn复矩阵，是否可用一系列Householder变换可将A化为行阶梯形矩阵？或者说，是否存在酉矩阵Q，使QA为行阶梯形矩阵？,谢谢！,