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,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元微分学,第三讲,一、 历年试题分类统计及考点分布,二、考点综述及主要解题方法与技巧,三、真题解析,一、 历年试题分类统计及考点分布,(1)偏导数与全微分定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)偏导数与全微分计算,二、考点综述与主要解题方法与技巧,(3)极值与最值,(4)方向导数与梯度,()偏导数与全微分定义问题,(a)偏导数定义,(b)偏导数定义推广,(c)全微分定义,全微分,可微,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对 y 轴的,(d)偏导数几何意义,连续,可微,(d)偏导数,可微与连续的关系,偏导数存在,在点 (0,0) 可微 .,例1,在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证: 1),因,故函数在点 (0, 0) 连续 ;,但偏导数在点 (0,0) 不连,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明函数,所以,同理,极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;,同理 ,在点(0,0)也不连续.,2),3),题目 目录 上页 下页 返回 结束,4) 下面证明,可微 :,说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,题目 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,()偏导数与全微分计算问题,复合函数求导,设函数,例,函数f 具有二阶,连续偏导数，求,，其中,复合函数求导,设函数,(11年考研真题9分),，其中函数f 具有二阶,连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1,求,复合函数求导,设函数,(11年考研真题4分),隐函数求导,设函数,(10年考研真题4分),由方程,确定，其中F为可微函数，且,隐函数求导,设函数,练习,由方程,确定，其中F有连续偏导数，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数极值问题,、多元函数极值问题,无条件极值,有条件极值,显函数,隐函数,闭区域边界上,闭区域上,必要条件,充分条件,.无条件极值-显函数,求函数,(12年考研真题10分),的极值,思路解析：,() 典型的无条件极值显函数问题先求驻点,时, 具有极值,(2)令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,.2.无条件极值-隐函数,设函数,(年考研真题1分),是由,思路解析：,() 典型的无条件极值（隐函数）先用必要条件 求驻点,确定的函数，求,的极值点和极值,(2) 用充分条件判别可疑点,已知曲线,(08年考研真题11分),求C上距离xoy面最,思路解析：,() 典型的两条件极值问题闭区域边界上的最值，,近和最远的点,用拉格朗日乘数法,3.条件极值-闭区域边界上的最值,为中心在原点的椭圆,求它的面积,思路解析：,分别是半长轴与半短轴,它们分别是椭圆上点到中,心的距离的最大值与最小值,练习. 已知平面曲线,用拉格朗日乘数法,的面积为S，三边长分别为a,b,c,思路解析：,从其内部的点P向三边作三条垂线，求使此三条垂线 乘积为最大的点P的位置.,条件：面积为S,练习. 已知,用拉格朗日乘数法,.4.条件极值-闭区域上的最值,求函数,(0年考研真题11分),在区域,思路解析：,() 典型的条件极值问题闭区域边界内的最值，,上的最大最小值,内部点为驻点,边界点用拉格朗日乘数法,.方向导数与梯度问题,(a)方向导数定义,.方向导数与梯度问题,(a)方向导数定义（1）,为平面直线,(a)方向导数定义式（2）,为空间直线,(b)方向导数计算式（1）,对于二元函数,为, ，的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,(b)方向导数计算式（2）,对于三元函数,为, ,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,的方向导数为,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数公式,梯度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(c)梯度定义,梯度定义式,三元函数 f (P) 在点 P 处的梯度,(gradient),机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,二元函数,在点,处的梯度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为函数 f 的等值线 .,（d)梯度的几何意义,旋转曲面,结论1: 任意点梯度向量垂直于该点等值线（的切线）,为了更形象地理解梯度的特征,不妨将函数,z = f (x, y)的图形想象为一座山,如果你向梯度方向爬山,总是沿着梯度垂直的方向走,那么你一定上不了山,因为在这种情况下你总是在一,(如图).,如果你,最陡, 最费力;,条等高线上走.,讨论规划最优解问题,梯度方向与函数值变化的关系.,最优解（1，4）,（梯度方向是函数值增大最快的方向.）,方向导数,验证：,梯度方向是函数值增大最快的方向.,方向,验证：,这说明,.,梯度方向是函数值增大最快的方向.,f 变化率最大即梯度方向是函数值增大最快的方向.,l与梯度方向重合时,2.,f 变化率为零即沿等值线方向，函数值不变,l与梯度方向垂直时,.,f 变化率最小即沿梯度相反方向，是函数值减少最快.,l与梯度方向相反时,讨论函数变化率的最值问题,梯度与方向导数的关系,例：,（）问在点(1, )处，沿什么方向电压升高最快?其速率为多少?,设一金属板上电压的分布函数为,（）问在点(1, )处，沿什么方向电压下降最快?其速率为多少?,（）问在点(1, )处，沿什么方向电压变化最慢？,f. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,求,(年考研真题分),思路解析：,() 考察梯度定义与计算,求,(年考研真题分),思路解析：,() 考察梯度定义与计算,在点（，）的梯度,设函数,(年考研真题分),思路解析：,() 考察方向导数定义与计算,单位向量,则,（）,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,函数,提示:,则,(96考研真题),机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,(92年考研真题),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设有一小山，取它的底面为xoy坐标面，其底部所占,(年考研真题分),的区域为,小山的高度函数为,（）设,为区域D上的一个点，问,在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？,若记此方向导数的最大值为,试写出,的表达式,（）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚,一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是,在D的边界曲线上寻找出（）中,达到最大,值的点，试确定攀登起点的位置,机动 目录 上页 下页 返回 结束,积分对称性,、积分对称性问题,定积分,曲线积分,二重函数,三重积分,曲面积分,对弧长,对坐标,对面积,对坐标,
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