空间几何体的三视图与直观图、表面积和体积.ppt

新课标高中一轮总复习,第九单元 直线、平面、简单几何体和空间向量,知识体系,1.空间几何体. (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形（长方体、球、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.,(3)会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. (5)了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. 2.点、直线、平面之间的位置关系. (1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.,公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. 公理：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线. 公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.,定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理: 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.,如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理，并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线相互平行.,垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于他们交线的直线与另一个平面垂直. (3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 3.空间直角坐标系. (1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式.,4.空间向量与立体几何. (1)空间向量及其运算. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. (2)空间向量的应用. 理解直线的方向向量与平面的法向量.,能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用.,第59讲,空间几何体的三视图与直观图、表面积和体积,1.了解柱、锥、台、球的概念、性质及他们之间的关系，能识别柱、锥、台、球的结构特征； 2.能识别各种简单几何体和简单组合体的三视图，并会用斜二测画法画出他们的直观图.能进行三视图与直观图的相互转化. 3.了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，并能运用这些公式解决相关问题.,1.下列说法中正确的是( ),D,A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B.用一个平面去截一个圆锥，可以得到一个圆台和一个圆锥 C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 D.将一个直角三角形绕其一条直角边旋转一周，所得圆锥的母线长等于斜边长,由棱柱、圆锥、棱锥的定义知，A、B、C不正确，故选D.,2.已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图ABC的面积为( ),D,A. a2 B. A2 C. a2 D. a2,如图，图、图所示的分别是实际图形和直观图.,从图可知，AB=AB=a, OC= OC= a, 所以CD=OCsin45= a， 所以SABC= ABCD = a a= a2, 故选D.,3.某几何体的直观图如图所示,该几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是( ),B,A. B. C. D.,主视图应有一条实对角线,且对角线应向上到下,左视时,看到一个矩形,且不能有实对角线,故淘汰A、D，故选B.,4.如图是一个空间几何体的三视图，若它的体积是3 ，则a= .,由三视图可知几何体为一个直三棱柱,底面三角形中,边长为2的边上的高为a, 则V=3 2a=3 ，所以a= .,1.柱、锥、台、球的结构特征,S底h,S底h,2(R2+Rh,R2h,R2+R,R2h,4R2,R3,2.三视图与直观图 (1)我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做 ;在一束平行光照射下形成的投影，叫做 .在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影. (2)空间几何体的三视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图叫做几何体的 ; 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图叫做几何体的 ; 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图叫做几何体的 .,中心投影,平行投影,正视图,侧视图,俯视图,(3)画三视图的基本要求是 . 高度一样, 长度一样, . 宽度一样. (4)斜二测画法的规则 在已知图中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于点O，使xOy45，它们确定的平面表示水平面.,正视图和侧视图,俯视图和正视图,图和俯视图,侧视,已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成 . 已知图形中平行于x轴的线段的长度，在直观图中 ;平行与y轴的线段的长度,在直观图中,长度为 .,平行于x轴或y轴,长度不变,原来的一半,题型一 三视图与直观图,例1,一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ),A.2+2 B.4+2 C.2+ D.4+,C,本例题型的切入点和基本策略是将三视图还原成空间几何体，必要时作出直观图.,该空间几何体为一个圆柱和一个正四棱锥构成的组合体. 圆柱的底面半径为1,高为2,故其体积为2. 四棱锥的底面边长为 ，高为 ， 所以其体积为 ( )2 = . 所以该几何体的体积为2+ .选C,1.三视图是新课标中新增的内容，要求是能画，能识别，能应用.经常与立体几何中有关的计算问题融合在一起考查，如面积、体积的计算，考查学生的空间想象能力，因此我们应对常见的简单几何体的三视图有所理解，能够进行识别和判断. 2.注意三视图的特点：“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. 3.空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键.,已知一几何体ABCDABCD的正视图、侧视图和俯视图分别为图中的所示.图中的四边形DCCD是面积为80的矩形;图中的四边形ABCD是一直角梯形，AB=2AD且BC=CD；且原图中CC=2BC. 请你画出该几何 体的直观图(画 图时、尺寸比例 不做严格要求)， 并求该几何体的 体积.,该几何体的直观图如下图所示的图. 设AD=x,BC=y. 由图得(2x)2+(y-x)2=y2, 所以2y=5x. 又由图可知2x2y=80. 由得x=2 ,所以AB=4 , 所以BC=y= x=5 ,CC=10 . 故该几何体的体积 V=S梯形ABCDCC= ABCC=280 .,空间想象力与多观察实物相结合是解决此类题的关键.,题型二 简单几何体的体积与表面积,例2,如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1=B1C1=2，A1B1C1=90，AA1=4，BB1=3，CC1=2，求该几何体的体积及截面ABC的面积.,过C作平行于底面A1B1C1的截面A2B2C2,将该几何体分割为柱和锥或将其还原为直棱柱，然后计算其体积.,(方法一)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C,交AA1、BB1于A2、B2. 由直三棱柱性质可知中B2C平面ABB2A2, 则V=V柱A1B1C1-A2B2C+V锥C-ABB2A2 = 222+ (1+2)22 =6.,(方法二)延长BB1、CC1到B3、C3，使得BB1=CC3=AA1. 则V=V柱A1B1C1-AB3C3-V锥A-BB3C3C = 224- (1+2)22 =6. 在ABC中,AB= = ， BC= = ， AC= =2 . 则SABC= 2 = .,处理不规则几何体的体积时，或将其分割柱、锥、台或将补体为柱、锥、台，然后计算其体积.,题型三 简单组合体问题,例3,有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5，圆心角为 的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱. (1)求圆锥的体积； (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?,由圆锥的侧面展开图，圆心角与半径的关系可求圆锥的母线长，底面半径和高.内接圆柱的侧面积是高x的函数，再用代数方法求最值.,(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r，则2r=5 ,所以r=3,则圆锥的高为4,故体积V= r24=12.,(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形. 设圆柱的底面半径为y, 则 = ，得y=3- x. 圆柱的侧面积 S(x)=2(3- x)x = (4x-x2)= 4-(x-2)2(0 x4). 当x=2时，S(x)有最大值6. 所以当圆柱的高为2时，有最大侧面积6.,旋转体的接、切问题常考虑其相应轴截面内的接、切情况，实际是把空间图形平面化.,一球与边长为2的正方体的各棱相切,则球的表面积是 ,体积是 .,正方体相对棱之间的距离为球的直径2R. 则有2R=2 ,所以R= , 所以S球=4R2=8,V球= R3= .,8,如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长也为a,且A1AB=A1AC=60. (1)证明:三棱锥A1-ABC是正三棱锥； (2)证明:三棱柱的侧面BCC1B1是矩形； (3)求棱柱的侧面积.,有关几何图形的证明，应紧扣其定义和已知进行探索.,(1)证明:因为A1AC=A1AB=60, 又因为A1A=AC=AB=a,所以A1B=A1C=a, 故A1-ABC是棱长为a的正四面体， 所以A1-ABC是正三棱锥.,(2)证明：设顶点A1在底面ABC的射影为O，连接AO并延长与BC相交于点D. 因为ADBC,且AD是AA1在底面ABC的射影，所以AA1BC.又因为AA1CC1,所以CC1BC,故平行四边形BCC1B1是矩形. (3)S侧=S ACC1A1+S ABB1A1+S矩形BCC1B1 =2a2sin60+aa=(1+ )a2.,由于给出的棱柱不是正棱柱,所以在求侧面积时,应对每一个侧面的面积分别进行计算.本题的易错点是对侧面形状判断出错.,1.充分熟记柱、锥、台、球的概念及其结构特征，并能善于运用这些特征描述简单物体的结构. 2.三视图的识别规则是：“正、侧同高,正、俯同长,俯、侧同宽”. 3.要用联系的观点来认识柱、锥、台、球的性质，在给出相关体积、表面积公式的前提下能准确计算其体积和表面积. 4.将空间问题转化化归为平面图形问题是解决立体几何问题的最基本、最常用的方法.,(2007江苏卷)将正三棱柱截去三个角(如图1所示，A、B、C分别是GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( ),因为EFD-HIG是正三棱锥，且AE在平面EG中，所以在侧视图(左视图)中,AE应为竖直的，选A.,(2009辽宁卷)设某几何体的三视图如下（长度单位为m): 则该几何体的体积为 m3.,4,由三视图可知原几何体是一个三棱锥(其直观图如右),且该三棱锥高为2,底面三角形一边为4,且该边上的高为3,故该几何体体积V=16243=4.,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,