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专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质真题试做1(2012湖南高考，理6)函数f(x)sin xcos的值域为()A2,2 B，C1,1 D2(2012大纲全国高考，理14)当函数ysin xcos x(0x2)取得最大值时，x_.3(2012山东高考，理17)已知向量m(sin x,1)，n(A0)，函数f(x)mn的最大值为6.(1)求A；(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的值域4(2012重庆高考，理18)设f(x)4cossin xcos(2x)，其中0.(1)求函数yf(x)的值域；(2)若f(x)在区间上为增函数，求的最大值考向分析三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容，主要从以下三个方面进行考查：1三角函数的概念与诱导公式，主要以选择、填空题的形式为主2三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题，主要以选择、填空题的形式考查，有时也会出现大题3三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为yAsin(x)的形式再研究其性质，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质，既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题热点例析热点一三角函数的概念【例1】已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()A B C D规律方法 当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线固定时，通常先根据任意角三角函数的定义求这个角的三角函数特别提醒：(1)当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，根据定义求三角函数值时，要把这条直线看做两条射线，分别求解(2)在利用诱导公式和同角三角函数关系式时，一定要特别注意符号一定要理解“奇变偶不变，符号看象限”的意思；同角三角函数的平方关系中，开方后的符号要根据角所在的象限确定变式训练1 (2012福建莆田高三质检，11)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标是，若(0，)，则tan _.热点二三角函数图象及解析式如图，根据函数的图象，求函数yAsin(x)(A0，0，|)的解析式规律方法 由部分图象确定函数解析式问题解决的关键在于确定参数A，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解若设所求解析式为yAsin(x)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A，.(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|，或代入点的坐标解关于A的方程；(2)因为T，所以往往通过求周期T来确定.可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T，或者相邻的两个最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T；(3)从寻找五点法中的第一零点(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，或者在五点中找两个特殊点列方程组解出.(4)代入点的坐标，通过解三角方程，再结合图象确定，.特别提醒：求yAsin(x)的解析式，最难的是求，第一零点常常用来求，只要找准第一零点的横坐标，列方程就能求出.若对A，的符号或对的范围有要求，可用诱导公式变换，使其符合要求变式训练2 (2012福建泉州质检，8)下图所示的是函数yAsin(x)(A0，0)图象的一部分，则其函数解析式是()Aysin BysinCysin Dysin热点三三角函数图象变换【例3】(2012四川绵阳高三三诊，10)已知函数f(x)Asin(x)在一个周期内的图象如图所示，则yf(x)的图象可由函数ycos x的图象(纵坐标不变)()A先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位规律方法 图象变换理论：(1)平移变换沿x轴平移，按“左加右减”法则；沿y轴平移，按“上加下减”法则；(2)伸缩变换沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(01)或缩短(1)为原来的(纵坐标y不变)；沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变)特别提醒：对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少，尤其当x与y前的系数不为1时一定要将系数提出来再判断变式训练3 要得到ycos的图象，只需将ysin 2x的图象()A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度热点四三角函数图象与性质综合应用【例4】(2012上海浦东新区模拟，19)已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，求方程g(x)1的解规律方法 求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值、单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为yAsin(x)，yAcos(x)(A，是常数，且A0，0)的形式，再研究其各种性质有关常用结论与技巧：(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，且A0，0)的单调区间时一定要注意的取值情况，若0，则最好用诱导公式转化为0后再去求解，否则极易出错(2)函数yAsin(x)，xR是奇函数k(kZ)，是偶函数k(kZ)；函数yAcos(x)，xR是奇函数k(kZ)，是偶函数k(kZ)；函数yAtan(x)，xR是奇函数k(kZ)(3)对yAsin(x)，yAcos(x)(A，是常数，且A0，0)结合函数图象可观察出如下几点：函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点；相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期变式训练4 (2012重庆高三模拟，17)已知函数f(x)4sin xsin2cos 2x，其中0.(1)当1时，求函数f(x)的最小正周期；(2)若函数f(x)在区间上是增函数，求的取值范围思想渗透整体代换思想三角函数性质问题(1)求函数的对称轴、对称中心；(2)求函数的单调区间求解时主要方法为：(1)关于函数yAsin(x)和yAcos(x)的对称性，一般可利用正弦、余弦曲线的对称性，把x看成x，整体代换求得(2)求函数yAsin(x)(A，是常数，且A0，0)的单调区间的步骤如下：若0，把x看成一个整体，由2kx2k(kZ)解得x的集合，所得区间即为增区间；由2kx2k(kZ)解得x的集合，所得区间即为减区间若0，可先用诱导公式变为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间【典型例题】已知函数f(x)cos2，g(x)1sin 2x.(1)设xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的单调递增区间解：(1)由题设知f(x).因为xx0是函数yf(x)的图象的一条对称轴，所以2x0k(kZ)，即2x0k(kZ)所以g(x0)1sin 2x01sin.当k为偶数时，g(x0)1sin1；当k为奇数时，g(x0)1sin1.(2)h(x)f(x)g(x)1sin 2xsin.当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数h(x)sin是增函数故函数h(x)的单调递增区间是(kZ)1(2012山东青岛一模，8)将函数ycos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是()Ax Bx Cx Dx2(2012湖北孝感二模，8)若函数yAsin(x)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且0，则A()A B C D3(2012天津宝坻质检，4)设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)0，则()Af(x)在上是增函数Bf(x)在上是减函数Cf(x)在上是增函数Df(x)在上是减函数4(2012江西九校联考，理8)已知A，B，C，D是函数ysin(x)的一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值为()A2， B2，C， D，5已知角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(4m,3m)(m0)是角终边上一点，则2sin cos _.6(原创题)已知函数f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|，则f(x)的值域是_7已知函数yabcos 3x(b0)的最大值为，最小值为，求函数y4asin 3bx的最大值和最小值8已知函数f(x)Asin(x)的图象的一部分如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x时，求函数yf(x)f(x2)的最大值与最小值及相应的x的值参考答案命题调研明晰考向真题试做1B解析：f(x)sin xcossin xsin xcos xsin，故选B2解析：ysin xcos x22sin当y取最大值时，x2k，x2k又0x2，x3解：(1)f(x)mnAsin xcos xcos 2xAAsin因为A0，由题意知A6(2)由(1)f(x)6sin将函数yf(x)的图象向左平移个单位后得到y6sin的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y6sin的图象因此g(x)6sin因为x，所以4x故g(x)在上的值域为3,64解：(1)f(x)4sin xcos 2x2sin xcos x2sin2xcos2xsin2xsin 2x1因1sin 2x1，所以函数yf(x)的值域为1，1(2)因ysin x在每个闭区间(kZ)上为增函数，故f(x)sin 2x1(0)在每个闭区间(kZ)上为增函数依题意知对某个kZ成立，此时必有k0，于是解得，故的最大值为精要例析聚焦热点热点例析【例1】B解析：(方法1)在角终边上任取一点P(a,2a)(a0)，则r2|OP|2a2(2a)25a2，cos 2，cos 22cos 211(方法2)由方法1知tan 2，cos 2【变式训练1】解析：由三角函数定义可知cos ，又(0，)，sin ，所以tan 【例2】解：由图象可知A2，T26(2)16，即16，y2sin又点(2，2)在曲线上，代入得2sin2，sin12k2k，kZ又|，k0时，函数解析式为y2sin【变式训练2】A解析：由图象可知A1，T21又可看做“五点法”作图的第二个点，ysin【例3】B解析：由题中图象可知A1，T2又可看做“五点法”作图的第二个点，ysin由函数ycos x的图象(纵坐标不变)上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得ycos 2x的图象，再向右平移个单位可得ycos2coscossin的图象【变式训练3】A解析：ycossinsin2，故需将ysin 2x的图象向左平移个单位长度【例4】解：(1)f(x)sin1，由2k2x2k(kZ)得：f(x)的单调递增区间是(kZ)(2)由已知，g(x)sin1，由g(x)1，得sin0，x(kZ)【变式训练4】解：(1)由题可知：f(x)4sin xcos 2x2sin x1当1时，f(x)2sin x1，则函数f(x)的最小正周期为2(2)由(1)知：f(x)2sin x1，欲使f(x)在上单调递增，结合y2sin x1的图象，则有，于是创新模拟预测演练1D解析：函数ycos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到ycos的图象，再向左平移个单位，得函数cos的图象，令xk，即x2k，kZ令k0，则x2A解析：由图象可知，T2又M，N，0，A20AA3B解析：由f(x)sin(x)cos(x)sin，又最小正周期为，2f(x)sinf(x)f(x)，k，kZ，k，kZ由题意f(x)sincos 2x当02x，即0x时，f(x)单调递减当2x0，即x0时，f(x)单调递增4A解析：设题图中的最高点为P根据已知的对称性和在x轴上的投影为可知，在x轴上的投影也为，所以函数ysin(x)的四分之一周期为，所以函数ysin(x)的周期为，故2又20，所以故选A5解析：P(4m,3m)(m0)，r5|m|，由m0得r5m，sin ，cos 2sin cos 6解析：当sin xcos x时，f(x)cos x，当sin xcos x时，f(x)sin x同时画出ysin x与ycos x在一个周期内的图象，函数f(x)的图象始终取ysin x与ycos x两者下方的图象，结合图象可得f(x)7解：yabcos 3x(b0)当cos 3x1时，ymaxab，当cos 3x1时，yminab，由得y4sin 3x2sin 3x当sin 3x1时，ymax2，当sin 3x1时，ymin28解：(1)由图象知A2，2T8，得f(x)2sin由1f(x)2sin(2)y2sin2sin2cos2sin2cosx，x当x，即x时，y取最大值；当x，即x4时，y取最小值2
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