（福建专用）2013年高考数学总复习 第三章第8课时 正弦定理和余弦定理的应用举例课时闯关（含解析）

（福建专用）2013年高考数学总复习 第三章第8课时 正弦定理和余弦定理的应用举例课时闯关（含解析）一、选择题1(2012龙岩质检)如果在测量中，某渠道斜坡的坡比为，设为坡角，那么cos等于()A.B.C. D.解析：选B.因tan，所以cos.2.如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时最适合用数据()A，a，b B，aCa，b， D，b解析：选C.在ABC中，AB2a2b22abcos，最合适的数据是a，b，.3.(2012三明质检)如图，在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60，塔基的俯角为45，那么该塔吊的高是()A20 mB20(1) mC10() mD20() m解析：选B.由题意得CEAEAB20 m，DEAEtan 6020 m，所以塔吊的高为202020(1)(m)4某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为()A. B2C2或 D3解析：选C.如图，由题意得ABC30.因为AC，BC3，ABx，AC2AB2BC22ABBCcos30，所以()232x23x.解得x2或x.5一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为()A.海里/时 B34海里/时C.海里/时 D34海里/时解析：选A.如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，由正弦定理，得，MN6834(海里)又由M到N所用时间为 14104(小时)，船的航行速度v(海里/时)二、填空题6在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为_ m.解析：轴截面如图，则光源高度h5 m.答案：57.如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要_小时到达B处解析：由题意，对于CB的长度，由余弦定理，得CB2CO2OB22COOBcos120100400200700.CB10(海里)，甲船所需时间为(小时)答案：8.如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为_米解析：设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BCh.在ABC中，AB10，CAB45，ABC105，所以ACB30，由正弦定理得，故h30.答案：30三、解答题9航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000 m，速度为180 km(千米)/h(小时)飞机先看到山顶的俯角为15，经过420 s(秒)后又看到山顶的俯角为45，求山顶的海拔高度(取1.4，1.7)解：如图 A15，DBC45ACB30，AB180 km(千米)/h(小时)420 s(秒)21000 (m)在ABC中，BCsin1510500()，CDAD，CDBCsinCBDBCsin4510500()10500(1)10500(1.71)7350即山顶的海拔高度1000073502650(米)10.某市电力部门在抗雪救灾的某项重建工程中，需要在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距 km的C、D两地(假设A、B、C、D在同一平面上)，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A、B距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？解：在ACD中，由已知可得，CAD30，所以，AC km，在BCD中，由已知可得，CBD60，sin75sin(4530)，由正弦定理，BC，cos75cos(4530)，在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosBCA()222cos755，所以，AB，施工单位应该准备电线长.即施工单位应该准备电线长 km.一、选择题1某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人()A不能作出这样的三角形B能作出一个锐角三角形C能作出一个直角三角形D能作出一个钝角三角形解析：选D.设三边为a，b，c，则由面积公式得abcx，x0，则a13x，b11x，c5x. 由(13x)2(11x)2(5x)2146x2，可以得到一个钝角三角形2(2012福州调研)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A0.5小时 B1小时C1.5小时 D2小时解析：选B.法一：设A地东北方向上点P到B的距离为30千米，APx，在ABP中PB2AP2AB22APABcosA，即302x24022x40cos45，化简得x240x7000，|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即CD20，故t1.法二：如图以A为原点东西向为x轴建系BECD于E，BE40cos4520，CD220，以下同上，二、填空题3.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为_(用的三角函数值表示)解析：四个等腰三角形的面积之和为411sin2sin，在一个三角形中由余弦定理可知正方形的边长为，所以正方形的面积为22cos，因此，该八边形的面积为2sin22cos.答案：2sin2cos24.如图，点A在坡度一定的山坡上已知在点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m后，又从点B测得斜度为45.假设建筑物高50 m，求此山坡对于地平面的坡角的余弦值_解析：在ABC中，AB100 m，CAB15，ACB451530.由正弦定理得，所以BC200sin15.在DBC中，CD50 m，CBD45，CDB90.由正弦定理得，所以cos1.答案：1三、解答题5.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处求援，求cos的值解：如题图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos1202800BC20.由正弦定理得，sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.6(2012厦门质检)某海岛上有一座海拔1千米的山，山顶上有一观察站P(P在海平面上的射影点为A)，测得一游艇在海岛南偏西30，俯角为45的B处，该游艇准备前往海岛正东方向，俯角为45的旅游景点C处，如图所示 (1)设游艇从B处直线航行到C处时，距离观察站P最近的点为D处() 求证：BC平面PAD ；()计算B、D两点间的距离(2)海水退潮后，在(1)中的点D处周围0.25千米内有暗礁，航道变窄. 为了有序参观景点，要求游艇从B处直线航行到A的正东方向某点E处后，再沿正东方向继续驶向C处. 为使游艇不会触礁，试求AE的最大值解：(1)()证明：连结PD，AD游艇距离观察站P最近的点为D处，PDBC，又依题意可知PA平面ABC，PABC.又PAPDP.BC平面PAD.()依题意又知PAAB，PBA45，PA1，AB1，同理AC1，且BAC120，ABCACB30，又BCAD，D为BC的中点，且BD.(2)法一：依题意过点B作圆D的切线交AC于点E，切点为G，则AE取得最大值设AEx，则CE1x，过点E作EFBC于F，则EF.连结DG，则DGBE.RtBGDRtBFE.，可得BE(1x)在ABE中，BE2AB2AE22ABAEcosBAC，即3(1x)21x2x，化简得2x27x20，解得x1，x2.又0x1，x2.答：BD的长为千米，AE的最大值为千米法二：在平面ABC内，以A为坐标原点，AC为x轴正方向，建立直角坐标系，依题意，当直线BE与圆D相切时AE最长由已知AB1得B，可设直线BE：yk，即kxy0，由(1)知D为BC的中点，由C(1,0)知D，则D到直线BE距离为，即，得4k23k10即k，.直线BE的方程：y，当y0时，x即AE.答：BD的长为千米，AE的最大值为千米