（新课程）2013高中数学 平面向量总复习题 苏教版必修4

平面向量总复习题一、选择题1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：B2.当|a|b|0且a、b不共线时，ab与ab的关系是A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等解析：（ab）（ab）a 2b2|a|2|b|20，（ab）（ab）答案：B3.下面有五个命题，其中正确的命题序号为单位向量都相等；长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；若a，b满足|a|b|且a与b同向，则ab；由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；对于任意向量a，b，必有|ab|a| b |A. B.C. D.解析：单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题错误；方向相反的向量一定是共线向量，故命题错误；两向量不能比较大小，故命题错误；0与任意向量平行，故命题错误；命题正确.答案：B4.下列四式中不能化简为的是（ ）A.B. C.D.解析：A选项中，B选项中，0，0C选项中，0，00D选项中，（）答案：D5.已知正方形ABCD的边长为1，a，b，c，则abc的模等于（ ）A.0 B.2C.D.2解析：，abc，abc2c，|2c|2.答案：D6.如图所示，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是A.B.0C.D.答案：D7.已知a，b为非零向量，|ab|ab|成立的充要条件是A.abB.a，b有共同的起点C.a与b的长度相等D.ab解析：|ab|ab|ab|2| ab|2（ab）2（ab）2a22abb2a22 abb2ab0ab答案：D8.下面有五个命题，其中正确命题的序号是|a|2a2；（ab）2a2b2；（ab）2a 22abb 2；若ab0，则a0或b0A. B.C. D.解析：（ab）2（| a |b|cos）2| a |2|b|2cos2，a 2b2| a |2|b|2,(ab)2a2b 2若ab0，则a0或b0或ab且a0，b0.答案：B9.若点P分有向线段成定比为31，则点P1分有向线段所成的比为A. B.C. D.解析：，则点P1分有向线段所成的比为.答案：A10.已知点A（x，5）关于点C（1，y）的对称点是B（2，3），则点P（x，y）到原点的距离是A.4B.C.D.解析：由中点坐标公式可得，解得x4，y1，再由两点间距离公式得.答案：D11.将点（a，b）按向量a（h，k）平移后，得到点的坐标为A.（ah，bk）B.（ah，bk）C.（ah，bk）D.（ah，bk）解析：设平移后点的坐标为（x，y），则根据平移公式可得，答案：D12.点A（2，0），B（4，2），若|AB|2|AC|，则点C坐标为A.（1，1）B.（1，1）或（5，1）C.（1，1）或（1，3）D.无数多个解析：由题意|AB|，|AC|.故点C分布在以点A为圆心，半径为的圆上，故点C坐标有无数多个.答案：D13.将曲线f（x，y）0按向量a（h，k）平移后，得到的曲线的方程为A.f（xh，yk）0B.f（xh，yk）0C.f（xh，yk）0D.f（xh，yk）0解析：设平移后曲线上任意一点坐标为（x，y），则根据平移公式可得，又f（x，y）0，f（xh，yk）0即f（xh，yk）为平移后曲线方程.答案：B14.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（1，2），则|PQ|等于（ ）A.4 B.2C.5 D.2解析：由题意设P（x，0），Q（0，y），由中点坐标公式可得1，2解得x2，y4，|PQ|.答案：B15.下列命题中，正确的是A.|ab| a |b|B.若a（bc），则abacC.a2|a|D.a（bc）（ab）c解析：Aab|a|b|cos，|ab|a|b|cos| a |b|B.若a0，则abac，若bc0，即bc，abac；若a0，且bc0，由a（bc），得a（bc）0.abac0，abac，故B正确.C.若|a|0或1，则a2|a|.D.向量的数量积不满足结合律.答案：B16.函数y4sin2x的图象可以由y4sin（2x）的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位解析：用x替换掉函数y4sin2x中的x可得y4sin2（x）4sin（2x），故可将原函数图象向左平移个单位得到.答案：A17.已知m，n是夹角为60的两个单位向量，则a2mn和b3m2n的夹角是A.30 B.60 C.120 D.150解析：mn|m|n|cos60，|a|，|b|ab（2 mn）（3m2 n）6 m 22 n2mn62cos，120答案：C18.将函数y的图象按a平移后，函数解析式为y1，则a等于（ ）A.（2，1） B.（2，1）C.（1，1） D.（1，1）解析：y1，即y1用x2，y1分别替换了原函数解析式中的x，y即，即a（2，1）答案：B19.在直角三角形中，A、B为锐角，则sinAsinBA.有最大值和最小值0B.有最大值，但无最小值C.既无最大值，也无最小值D.有最大值1，但无最小值解析：ABC为直角三角形，BAsinAsinBsinAsin（A）sinAcosAsin2A当AB时，有最大值，但无最小值.答案：B20.、是锐角三角形的三个内角，则A.cossin且cossinB.cossin且cossinC.cossin且cossinD.cossin且cossin解析：、是锐角三角形两内角，0，sinsin（）即sincos，同理sincos答案：B21.在ABC中，sinAsinB是AB的A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由正弦定理可得，由sinAsinB可得ab根据三角形小边对小角可得AB，反之由AB也可推得sinAsinB故sinAsinB是AB的充要条件.答案：C22.在ABC中，tanAtanB1，则ABC为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定解析：tanAtanB10，又A、B不可能同时为钝角，tanA0，tanB0，tan（AB）0，90AB180，0C90，ABC为锐角三角形.答案：A23.在ABC中，A、B、C相应对边分别为a、b、c，则acosBbcosA等于A.2cosC B.2sinCC. D.c解析：由正弦定理得：2R得a2RsinA，b2RsinBacosBbcosA2RsinAcosB2RcosAsinB2Rsin（AB）2RsinCc答案：D24.在ABC中，已知cosA，sinB，则cosC等于A. B.C.或 D.解析：由sinB，得cosB但当cosB，cosAcosB0，C无解cosCcos180（AB）cos（AB）（cosAcosBsinAsinB）sinAsinBcosBcosA答案：A25.在不等边ABC中，a为最大边，如果a2b2c2，则A的取值范围是（ ）A.90A180B.45A90C.60A90D.0A90解析：a2b2c2，b2c2a20，cosA0，A90，又a边最大，A角最大ABC180，3A180，A60，60A90答案：C26.已知点A分的比为2，下列结论错误的是A.B分的比为B.C分的比为3C.A分的比为2D.C分的比为解析：数形结合可得C选项错误.答案：C27.在ABC中，若B30，AB2，AC2，则ABC的面积为A.2 B.C.2或D.2或4解析：sinC，C60或120，A90或30SABCABACsinA2或.答案：C28.在ABC中，若sinBsinCcos2，则ABC是A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析：sinBsinC又cosAcos180（BC）cos（BC）（cosBcosCsinBsinC）2sinBsinC1cosBcosCsinBsinC，cosBcosCsinBsinC1cos（BC）1，BC，ABC是等腰三角形.答案：A二、解答题1.设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e1k e 2，e13 e 2，2e1e 2，若A、B、D三点共线，求k的值.分析：由于A、B、D三点共线，因此存在实数，使，而e 14e2，将、的e1、e2表达式代入上式，再由向量相等的条件得到关于、k的方程组，便可求得k的值.解：（2 e 1e2）（e 13e2）e14e2，A、B、D三点共线，存在实数，使，2 e 1ke2（e 14e2）于是可得，解得k8.评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，要注意两个向量共线和三点共线的区别和联系.2.已知a、b是两个非零向量，当atb（tR）的模取最小值时，（1）求t的值；（2）求证b（atb）.分析：利用|atb|2（atb）2进行转换，可讨论有关|atb|的最小值问题，若能算得b（atb）0，则证明了b（atb）.（1）解：设a与b的夹角为则|atb|2（atb）2a22atbt2b2|a|22t|a|b|cost2|b|2|b|2t2（2|a|b|cos）t|a|2|b|2（t cos）2|a|2sin2当tcos时，|atb|有最小值.（2）证明：b（atb）b（ab）abbbabab0b（at b）.评述：对|atb|变形，可以从两个角度进行思考，一是通过|at b |2（at b）2的数量积运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证目的.3.如图所示，OADB是以向量a，b为边的平行四边形，又BMBC，CNCD，试用a，b表示.解：ab（ab）=b+（ab）ab又由ab，得abab）（ab）ab评述：由于a，b不共线，因此a，b构成平行四边形OADB所在平面的一组基底，用它们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a，b表示的向量连同a，b设法放在一个三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法.4.已知O为ABC所在平面内一点，且满足 求证：O点是ABC的垂心证明：设a，b，c，则cb，ac，ba.|2|2|2|2|2|2a2（cb）2b2（ac）2c2（ba）2即cbacba，故（ba）cbcac0（cb）acaba0，点O是ABC的垂心.5.如图所示，圆O内两弦AB、CD垂直相交于P点，求证：.证明：设M、N分别为圆O的两弦AB、CD的中点，连OM、ON，则OMAB，ONCD.而ABCD，四边形MPNO为矩形，6.已知ABC中，A（2，1），B（3，2），C（3，1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.解：设点D坐标（x，y），由AD是BC边上的高可得，且B、D、C共线，解得点D坐标为（1，1），（1，2）7.已知a、b、c分别为ABC三内角A、B、C所对的边，且2(sinAsinB)，sinAsinC，2（sinBsinC）成等比数列.求证：2bac.证明：要证2bac，由正弦定理只要证：sinBsinAsinCsinB即可：由已知可得：（sinAsinC）24（sinAsinB）（sinBsinC）0，且sinAsinB，构造方程：（sinAsinB）x2（sinAsinC）x（sinBsinC）0，且x1是方程的根（sinAsinC）24（sinAsinB）（sinBsinC）0，方程有两相等实根由韦达定理可知：1sinBsinCsinAsinB，故结论得证.8.设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且4i2j，3i4j，证明ABC是直角三角形，并求它的面积.解：（3i4j）（4i2j）i2j又ij，ij0（4i2j）（i2j）4i26ij4j20，ABC是直角三角形，S|259.已知ABC中三内角满足AC2B，求cos的值.解：由AC2B，可得B60，AC120设，则AC2，A60，C60，将B=60代入得2cos2cos0（2cos）（2cos3）02cos30cos即cos10.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：证明：a2b2c22bccosA，C（AB）故原等式成立.11.在ABC中，BCa，ACb，ABc，且c为最大边，若accosAbccosB4S，其中S为ABC的面积.求证：ABC为锐角三角形.证明：由余弦定理及三角形面积公式accosAbccosB4S即acbc2absinC2aca2（b2c2a2）b2（a2c2b2）4a2b2即（a2b2）c2a42a2b2b4（a2b2）2，c2a2b2，cosC0，C为锐角又c为最大边，故C为最大角，ABC为锐角三角形.12.在ABC中，sinA，判断这个三角形的形状.解：由正弦定理、余弦定理可得：bcb（a2b2）c（a2c2）bc（bc）（bc）a2（b3c3）bc（bc），a2b2c2，ABC是直角三角形.