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课时提升作业(二十六) 第四章 第三节 平面向量的数量积一、选择题1.有下列四个命题:(ab)2=a2b2;|a+b|a-b|;|a+b|2=(a+b)2;若ab,则ab=|a|b|.其中真命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)42.(2012辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是()(A)ab (B)ab(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b3.(2013渭南模拟)设向量a=(cos 25,sin25),b=(sin 20,cos 20),若t是实数,且u=a+tb,则|u|的最小值是()(A) (B)1 (C) (D)4.(2013南昌模拟)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-6),设a与b的夹角的正切值等于-,则x的值为()(A) (B)2(C)-2 (D)-2,5.在ABC中,=1,=2,则AB边的长度为()(A)1 (B)3 (C)5 (D)96.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则ab的范围是()(A)(1,+) (B)(-1,1)(C)(-1,+) (D)(-,1)7.(2013南平模拟)设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)(a-xb)的图像是一条直线,则必有()(A)ab (B)ab(C)|a|=|b| (D)|a|b|8.已知O是ABC内部一点,+=0,=2,且BAC=30,则AOB的面积为()(A)2 (B)1 (C) (D)9.在ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若mn,则角A的大小为()(A) (B)(C) (D)10.(能力挑战题)如图,已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B.且,则向量的坐标为()(A)(-,) (B)(-,)(C)(-,) (D)(-,)二、填空题11.(2013黄山模拟)已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=5,则|b|=.12.如图,半圆的直径|AB|=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)的最小值是.13.(2013杭州模拟)以下命题:若|ab|=|a|b|,则ab;a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影为;若ABC中,a=5,b=8,c=7,则=20;若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则|2b|a+2b|.其中所有真命题的序号是.14.(能力挑战题)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为90.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若=x+y,其中x,yR,则xy的范围是.三、解答题15.(2013晋中模拟)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),=5,=10.(1)求D点的坐标.(2)设=(m,2),若3+与垂直,求的坐标.答案解析1.【解析】选A.设a,b夹角为,(ab)2=|a|2|b|2cos2|a|2|b|2=a2b2;|a+b|与|a-b|大小不确定;正确;ab,当a,b同向时有ab=|a|b|;当a,b反向时有ab=-|a|b|.故不正确.2.【思路点拨】将所给等式两边平方,找到两个向量的关系.【解析】选B.|a+b|=|a-b|a+b|2=|a-b|2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.【变式备选】已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为,那么下列结论中一定成立的是()(A)a=b (B)|a|=|b|(C)ab (D)ab【解析】选B.由条件得(a+b)(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.3.【解析】选C.|u|2=(a+tb)2=a2+2tab+t2b2=1+2t(cos 25sin 20+sin 25cos 20)+t2=t2+t+1=(t+)2+,|u|,故选C.4.【解析】选C.a=(3,1),b=(x,-6),设a与b的夹角等于,ab=3x-6=cos,cos=.tan=-,cos=-.=-,整理得3x2-20x-52=0.解得x1=-2,x2=.经检验x2=是增根,x1=-2满足要求.x=-2.5.【思路点拨】根据数量积的定义计算,并结合解三角形的知识得到结果.【解析】选B.过点C作AB的垂线,垂足为D.由条件得=|cosA=|AD|=1,同理|BD|=2.故|AB|=|AD|+|DB|=3.6.【解析】选C.a与a+2b同向,可设a+2b=a(0),则有b=a.又|a|=,ab=|a|2=2=-1-1,ab的范围是(-1,+),故应选C.7.【解析】选A.f(x)=(xa+b)(a-xb)的图像是一条直线,即f(x)的表达式是关于x的一次函数.而(xa+b)(a-xb)=x|a|2-x2ab+ab-x|b|2,故ab=0.又a,b为非零向量,ab,故应选A.8.【解析】选D.由+=0得O为ABC的重心,SAOB=SABC.又=|cos30=2,得|=4,SABC=|sin30=1.SAOB=.9.【解析】选B.由mn可得mn=0,即(b-c)b+(c-a)(c+a)=0,b2-bc+c2-a2=0.由余弦定理得cosA=,所以A=.10.【解析】选B.依题意设B(cos,sin),0.则=(1,1),=(cos,sin).因为,所以=0,即cos+sin=0,解得=,所以=(-,).【方法技巧】解题时引入恰当的参数是解题的关键,进而可利用三角函数的定义求得点B的坐标,可将问题转化为向量的坐标运算问题来解决.11.【解析】50=|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=5+20+|b|2,|b|=5.答案:512.【思路点拨】设|PO|=x(0x3),运用向量的数量积转化为函数知识求解.【解析】设|PO|=x,则|PC|=3-x(0x3),则(+)=2=2x(3-x)cos=2x(x-3)=2(x-)2-.0x3,当x=时,(+)有最小值-.答案:-13.【解析】设a,b的夹角为,中,由|ab|=|a|b|cos|=|a|b|,知cos=1,故=0或=,所以ab,故正确;中a在b方向上的投影为|a|cos=|a|=,故正确;中,由余弦定理得cosC=,故=-=-58=-20,故错误.中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,|2b|=|b|+|a+b|b+a+b|=|a+2b|,故错误.答案:14.【解析】由=x+y,得=x2+y2+2xy.又|=|=|=1,=0,1=x2+y22xy,得xy,而点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,得x,y0,1,于是0xy.答案:0,15.【解析】(1)设D(x,y),=(1,2),=(x+1,y).由题得或D点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2),3+与垂直,(3+)=0,m+14=0,m=-14,=(-14,2).【变式备选】在平面直角坐标系中,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin,t)(0).(1)若a,且|=|(O为坐标原点),求向量.(2)若向量与向量a共线,当k4,且tsin取最大值4时,求.【解析】(1)可得=(n-8,t),a,a=(n-8,t)(-1,2)=0,得n=2t+8,则=(2t,t).又|=|,|=8.(2t)2+t2=564,解得t=8,当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.=(24,8)或=(-8,-8).(2)向量与向量a共线,t=-2ksin+16,tsin=(-2ksin+16)sin=-2k(sin-)2+.k4,01,故当sin=时,tsin取最大值,有=4,得k=8.这时,sin=,k=8,tsin=4,得t=8,则=(4,8),=(8,0)(4,8)=32.
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