（广东专用）2014高考数学第一轮复习用书 第70课 圆锥曲线综合问题 文

第70课 圆锥曲线综合问题 1（2012广州调研）设椭圆的右焦点为，直线：与轴交于点，若（其中为坐标原点）（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的任意一点，为圆：的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值本资料由七彩教育网 提供！【解析】（1）由题设知， ，解得 椭圆的方程为（2）设圆：的圆心为，则 从而求的最大值转化为求的最大值 是椭圆上的任意一点，设， ，即 点，当时，取得最大值的最大值为 2（2012东城二模）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是（1）求椭圆的方程；（2）过作两直线，交椭圆于，四点，若，求证：为定值【解析】（1）由已知得，解得 故所求椭圆方程为 证明：（2）由（1）知，当直线斜率不存在时，此时，当直线斜率存在时，设直线的方程为 ：由 ，得 由于，设，则有 ， 同理 综上，为定值 3（2012汕头一模）如图，已知椭圆（）的上顶点为，右焦点为，直线与圆：相切（1）求椭圆的方程；（2）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【解析】（1）圆：圆，圆的圆心为，半径为 ，直线的方程为，即， 直线与圆相切， 椭圆的方程为（2）由，知，直线与坐标轴不垂直，由，可设直线的方程为， 则直线的方程为，由，整理得：，解得或，的坐标为，即 将上式中的换成，得直线的方程为， 化简得直线的方程为， 因此直线过定点 4（2012广东高考）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆：相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由【解答】（1），设是椭圆上任意一点，则， 当时，当时，有最大值，当时，不合题意，椭圆的方程为（2）在中， 当且仅当时，有最大值， 当时，点到直线的距离为， ，即，点在椭圆上， 由解得，此时点5（2012韶关质检）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合， ， 椭圆截抛物线的准线所得弦长为， 抛物线的准线与椭圆的交点为， ， 由、解得或（舍去），从而椭圆的方程为 （2） 倾斜角为的直线过点， 直线的方程为， 由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称， 则得 ， 解得，即又满足，故点在抛物线上 抛物线上存在一点，使得与关于直线对称6（2012广州二模）已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线：有一个相同的焦点，直线：与抛物线只有一个公共点 (1)求直线的方程；(2)若椭圆经过直线上的点，当椭圆的长轴长取得最小值时，求椭圆的方程及点的坐标【解析】(1)由，得 直线与抛物线只有一个公共点，解得 直线的方程为 (2)抛物线的焦点为，椭圆的两个焦点为 设点关于直线的对称点为，则 解得 点 直线与直线：的交点为 由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆的长轴长， 其中当点与点重合时，上面不等式取等号当时，椭圆的长轴长取得最小值，其值为4此时椭圆的方程为，点的坐标为