2012年高考数学 考点51 几何证明选讲

考点51 几何证明选讲一、选择题1.（2012北京高考理科5）如图. ACB=90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )A. CECB=ADDBB. CECB=ADABC. ADAB=CDD.CEEB=CDADBEC【解题指南】利用切割线定理及直角三角形中的射影定理.【解析】选A.CD，以BD为直径的圆与CD相切，。在中，CD为斜边AB上的高，有，因此，CECB=ADDB.二、填空题2.（2012湖北高考理科15）如图，点D在O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交O于点C，则CD的最大值为_.【解题指南】本题考查直线与圆的位置关系，解答本题的关键是利用直线与圆的位置关系，取AB的中点，连OC，把CD表示出来.【解析】取AB的中点为E，连接CD，OE，则，要求CD的最大值，则点D与E重合.可知结果为：2.【答案】2.3.（2012陕西高考理科15）如图，在圆中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，垂足为F，若，则 .【解题指南】围绕RtBDE和圆的有关性质列出成比例线段.【解析】连接AD,因为，,所以BE=5, 在RtABD中，,在RtBDE中,由射影定理得.【答案】5.4. （2012广东高考文科15）如图所示，直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点，.若AD=m,AC=n,则AB= .【解题指南】本小题要注意利用圆的几何性质。判断出,从而证出是解决此问题的关键.【解析】由题意知，所以,所以所以.【答案】.5.（2012广东高考理科15）如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_.【解题指南】本小题要注意利用圆的几何性质。连接OA，AC从而可得, 为等边三角形，, 为等腰三角形，并且AC=CP=1,到此问题基本得以解决.【解析】连接AO、AC，因为,所以,为等边三角形，则为等腰三角形，且.【答案】.6.（2012天津高考文科13）与（2012天津高考理科13）相同如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，则线段CD的长为_.【解题指南】利用相交线及切线的比例关系求解。【解析】设CD=x,则AD=4x,因为AFFB=CFFE,所以CF=2,又,又.【答案】.三、解答题7. （2012辽宁高考文科T22）与（2012辽宁高考理科T22）相同如图，O和相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E.证明 ()； () .【解题指南】据弦切角等于圆周角，证明三角形相似，对应边成比例，证明等式.【解析】(1)由AC与圆相切于点A，得;同理，从而，所以（2）由AD与圆相切于点A，得;又,从而，所以又由（1）知，所以.8.（2012新课标全国高考文科22）与（2012新课标全国高考理科22）相同如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点，若CF/AB，证明：()CD=BC；()BCDGBD【解题指南】（1）连接AF，作为中间量过渡，证，证明时充分利用图形中出现的平行四边形；（2）利用图形中的平行四边形及等腰三角形关系，设法寻找BCD与GBD中的两组对应角相等，从而可得BCDGBD.【解析】（1）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以，又已知，故四边形是平行四边形，所以.而，连结，所以ADCF是平行四边形，故CDAF.因为，所以，故.（2）因为故.由（1）可知，所以.而，故.AEBDCO9. （2012江苏高考21）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD = DC，连接AC，AE，DE求证：【解题指南】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到，从而得证.【解析】证明：连接.是圆的直径，（直径所对的圆周角是直角）。（垂直的定义）。又，是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。（等腰三角形等边对等角的性质）。又为圆上位于异侧的两点，（同弧所对圆周角相等）。（等量代换）.【一题多解】可连接，利用三角形中位线来求证。证明：连接OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以OD/AC,于是因为OBOD，所以于是因为点A，E，B，D，都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以和为同弧所对的圆周角，故，所以.