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考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、填空题1.（2011浙江高考理科15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数。若，则随机变量X的数学期望 【思路点拨】先由相互独立的事件同时发生的概率求出,进而求出其它情况的概率,再求出.【精讲精析】由可得,从而, , .所以.二、解答题2（2011安徽高考理科20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟.如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3,假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2,q3，其中q1,q2,q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需要派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；（）假定lp1p2p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.【思路点拨】（）利用间接法可以比较容易得出结论；（）直接利用相互独立事件及分布列知识解决；（）先分析抽象概括得出结论，再证明.【精讲精析】解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个人被派出去的先后顺序无关，并等于1-=（II）当依次派出去的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3，随机变量X的分布列为X123Pq1 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 =（III）由（II）得结论可知，当以甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人时， 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于 p1，p2，p3的任意排列q1,q2,q3，都有事实上，（） 即 3.（2011福建卷理科19）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：5678p0.4ab0.1且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.（）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性.【思路点拨】（I）利用期望公式和以及分布列中的所有概率和为1，联立关于的方程组，解方程组求得的值；（II）根据题中提供的数据，列等级系数的数学期望，再利用期望公式求期望；（）根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比，“性价比”大的产品更具可购买性.【精讲精析】（I）因为6,所以即，又由的概率分布列得即.由，解得.（II）由已知得，样本的频率分布表如下：345678P0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：3456780.30.20.20.10.10.1所以，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.（）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为所以乙厂的产品更具可购买性.4. （2011新课标全国高考理科19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组频数B配方的频数分布表指标值分组频数（）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（）已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【思路点拨】第（）问分别用配方、配方生产的产品中优质品的频率来估计概率，第（）问分别求出质量指标落在，上的频率作为概率，明确的对应取值，列分布列，用期望公式求期望即可.【精讲精析】（）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,X-224P0.040.540.42即X的分布列为X的数学期望值EX=-20.04+20.54+40.42=2.685（2011辽宁高考文科19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II）试验时每大块地分成8小块地，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪种品种？附：样本数据x1，x2，xa的样本方差，其中为样本平均数【思路点拨】（I）先编号，再逐一列出所有的基本事件，最后根据古典概型求解；（II）先求平均数，再求方差，最后下结论【精讲精析】（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4令事件A=“第一大块地都种品种甲” 从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个： （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）而事件A包含1个基本事件：（1，2）所以 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：，品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙 6.（2011 广东高考文科17）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2,6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s;（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率.【思路点拨】(1)由平均数的计算公式列出关于的方程，求出，由标准差的计算公式求标准差；（2）由古典概型概率计算公式直接求解.【精讲精析】（1）由题意，即，解得；标准差s=（2）从前5位同学的成绩中随机地选2位同学的成绩，有10种，分别是（70，76），（70，72），（70，70），（70，72），（76，72），（76，70），（76，72），（72，70），（72，72），（70，72）.恰有一位同学成绩在区间（68，75）中，有4种，分别是（70，76），（76，72），（76，70），（76，72）.设事件A=“恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”，则P(A).答：恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率是.7.（2011广东高考理科17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451691781661751807580777081（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.【思路点拨】（1）由已知求出抽取比例，从而求得乙厂生产的产品数量；（2）由表格中数据估计乙厂生产的优等品率，然后估计乙厂生产的优等品的数量；（3）先确定的所有取值，逐个算其概率，列出分布列，再由期望值.【精讲精析】（1）由题意，抽取比例为，则乙厂生产的产品数量为；（2）由表格知乙厂生产的优等品为2号和5号，所占比例为.由此估计乙厂生产的优等品的数量为；（3）由（2）知2号和5号产品为优等品，其余3件为非优等品.的取值为0，1，2.P(=0)=, P(=1)=, P(=2)=.从而分布列为012P数学期望E()=.8.（2011山东高考理科18）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.【思路点拨】（）本题考查的是相互独立的事件发生的概率，红队至少两人获胜的概率等于红队只有两人获胜的概率和红队有三人获胜的概率之和. （）本题考查的是随机变量的分布列及数学期望，先列出的所有值，并求出每个值所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望.【精讲精析】（）记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件，根据各盘比赛结果相互独立可得红队至少两名队员获胜的概率为.（）依题意可知，；;.故的分布列为0123P0.10.350.40.15故.9.（2011辽宁高考理科19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的样本方差，其中为样本平均数【思路点拨】（I）先根据古典概型结合排列组合的知识求分布列，再利用公式求数学期望；（II）先求平均数，再求方差，最后下结论【精讲精析】()可能的取值为且 ， ，. 即的分布列为 01234 的数学期望为 + ()品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： ， 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： ，. 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 10.（2011北京高考理科T17）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.甲组 乙组9 9 0 X 8 91 1 1 0（）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望.（注：方差，其中为的平均数）【思路点拨】（）代入平均数、方差公式进行计算；（）先求出Y的所有可能取值，再分别求出概率，最后计算数学期望.【精讲精析】（）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的棵数是8，8，9，10，所以平均数为；方差为（）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机抽取一名同学，共有种可能的结果，这两名同学不植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y=17)=, 同理可得 .所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021P=19.11（2011湖南高考理科T18）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（）求当天商店不进货的概率；（）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.【思路点拨】本题主要考查互斥事件、独立事件、对立事件、分布列、数学期望等知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.解决此类问题要注意根据事件的性质识别概率模型，而能否正确列出分布列则将直接影响数学期望的求解.它的解题步骤是：一想试验和试验的基本事件.二设，设试验的基本事件和要解决的复合事件.三建，建立目标事件和基本事件的关系.四计算，算概率，算的依据是对立事件、互斥事件和独立事件.五答.【精讲精析】（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量1件”）=。（II）由题意知，的可能取值为2，3.；故的分布列为23的数学期望为。12（2011江西高考理科16）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力. （1）求X的分布列； （2）求此员工月工资的期望.【思路点拨】（1）根据超几何分布的概率模型，易得X的分布列.（2）结合第一问月工资为3500的概率对应X=4的概率，2800对应X=3的概率,2100对应X2的概率，易得月工资的期望.【精讲精析】X的分布列为：X01234P 13（2011陕西高考理科T20）如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟）10202030304040505060的频率的频率0现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站（）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .【思路点拨】（）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望【精讲精析】（）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”， 表示事件“甲选择路径时，50分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率，则有：，；，甲应选择路径；，；，乙应选择路径（）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（）知，又事件A，B相互独立，的取值是0，1，2，X的分布列为012P0.040.420.5414.（2011.天津高考理科.T16）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1次游戏中， （i）摸出3个白球的概率； （ii）获奖的概率；（）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望。【思路点拨】（）根据古典概率、互斥事件的概率公式求解；（）先求出独立事件的概率、再求数学期望.【精讲精析】 （I）（i）【解析】设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则（ii）【解析】设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又且A2，A3互斥，所以（II）【解析】由题意可知X的所有可能取值为0，1，2. 所以X的分布列是X012P X的数学期望
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