（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第7课时 抛物线课时闯关（含解析）

（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第7课时 抛物线 课时闯关（含解析）A级双基巩固一、填空题1在抛物线y22px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为_解析：由题意45，p2.答案：22(2010高考湖南卷改编)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_解析：由题意知P到抛物线准线的距离为4(2)6，由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6.答案：63已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF2，则BF_.解析：因为AF2，所以xA(1)2.所以xA1，所以A(1，2)又F(1,0)，所以BFAF2.答案：24当a为任何值时，直线(a1)xy2a10恒过定点P，则过P点的抛物线的标准方程为_解析：由，得定点P(2,3)，抛物线过定点P，当焦点在x轴上时，方程为y2x，当焦点在y轴上时，抛物线方程为x2y.答案：y2x或x2y5若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程为_解析：由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以x2为准线的抛物线，其方程为y28x.答案：y28x6已知抛物线y22px的准线与双曲线x2y22的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为_解析：抛物线y22px的准线方程为x.又曲线x2y22的左准线为x1.故有1，p2.则抛物线方程为y24x，焦点坐标为(1,0)答案：(1,0)7已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为_解析：由已知，可知抛物线的准线x与圆(x3)2y216相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d34，解得p2.答案：28(2012南京调研)已知点A(2,1)，y24x的焦点是F，P是y24x上的点，为使|PA|PF|取得最小值，P点的坐标是_解析：过P作PKl(l为抛物线的准线)于K，则|PF|PK|，|PA|PF|PA|PK|，当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|PK|最小，此时P点的纵坐标为1，把y1代入y24x得x.即当P点的坐标为时，|PA|PF|最小答案：二、解答题9.如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|，|AN|3，且|NB|6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点设曲线C的方程为y22px(p0)(xAxxB，y0)，其中xA、xB为A、B的横坐标，p|MN|，所以M，N.由|AM|，|AN|3，得22pxA17，22pxA9.联立解得xA，代入式，并由p0，解得或因为AMN为锐角三角形，所以xA，故舍去由点B在曲线C上，得xB|BN|4.综上，曲线C的方程为y28x(1x4，y0)10已知抛物线C：x22py(p0)，其焦点F到准线的距离为.(1)试求抛物线C的方程；(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值解：(1)焦点F到准线的距离为，p.故抛物线C的方程为x2y.(2)设P(t，t2)，Q(x，x2)，N(x0，x)，则直线MN的方程为yx2x0(xx0)令y0，得M，kPM，kNQx0x.NQQP，且两直线斜率存在，kPMkNQ1，即(x0x)1，整理，得x0.又Q(x，x2)在直线PM上，则与共线，得x0，由，得(t0)，t，t或t(舍去)所求t的最小值为.B级能力提升一、填空题1(2012无锡质检)已知抛物线y2x2上任意一点P，则点P到直线x2y80的距离的最小值为_解析：设P(x0，y0)，则点P到直线x2y80的距离d.又点P在抛物线y2x2上，所以y02x，所以d|4xx08|，所以当x0时，dmin.答案：2若过点P(2,1)的直线l与抛物线y24x交于A、B两点，且()，则直线l的方程为_解析：由()，则P为AB中点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，则x1x24，y1y22，又y4x1，y4x2，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，2.l斜率为2、l的方程为y12(x2)即2xy30.答案：2xy303已知抛物线y22x，直线AB交抛物线于A，B两点，交x轴正半轴于点M(m,0)若0(O为坐标原点)，则m的值是_解析：设A，B.由0，得y1y20.当直线AB的斜率存在时，设为k(k0，m0)，则直线AB的方程为yk(xm)由得ky22y2km0，而48k2m0恒成立，所以满足条件又y1y22m，所以m22m0，则m2或m0(舍去)，所以m2.当直线AB的斜率不存在时，则A(m，)，B(m，)由0，则m22m0，所以m2或m0(舍去)，所以m2.综上，得m2.答案：24(2010高考湖南卷)过抛物线x22py(p0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p_.解析：依题意，抛物线的焦点F的坐标为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yx，代入抛物线方程得，y23py0，故y1y23p，|AB|AF|BF|y1y2p4p，直角梯形有一个内角为45，故|CD|AB|4p2p，梯形面积为|CD|3p2p3p212，p2.答案：2二、解答题5(2010高考福建卷)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt.由得y22y2t0.直线l与抛物线C有公共点，48t0，解之得t.由直线OA与l的距离d，可得，t1.1，)，1，)故符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.6.如图所示，M是抛物线y2x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MAMB.(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；(2)若M为动点，N(a,0)(其中aR)是x轴上一点，求|MN|的最小值解：(1)证明：设M(y，y0)，直线ME的斜率为k(k0)，则直线MF的斜率为k，直线ME的方程为yy0k(xy)由消去x，得ky2yy0(1ky0)0.解得yE，xE.同理，yF，xF.kEF(定值)所以直线EF的斜率为定值(2)设M(x0，y0)，则yx0(x00)|MN|，x00，当0，即a时，|MN|min|a|；当0，即a时，|MN|min.|MN|min