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课时提升作业(四十三) 第七章 第四节 垂直关系一、选择题1.(2013沈阳模拟)已知直线l,m,平面,且l,m,则“”是“lm”的()(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件2.(2013铜州模拟)已知直线m,n与平角,若,=m,n,要使n,则应增加的条件是()(A)mn(B)nm(C)n(D)n3.(2013青岛模拟)已知a,b,c为三条不重合的直线,下面有三个结论:若ab,ac,则bc;若ab,ac,则bc;若ab,bc,则ac.其中正确的个数为()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个4.已知两条直线m,n,两个平面,给出下面四个命题:mn,mn;,m,nmn;mn,mn;,mn,mn.其中正确命题的序号是()(A)(B)(C)(D)5.已知,是三个不同的平面,命题“,且”是真命题,如果把,中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个6.已知直线m,n和平面,满足mn,m,则()(A)n(B)n(C)n(D)n或n7.设,为平面,l,m,n为直线,则m的一个充分条件为()(A),=l,ml(B)n,n,m(C)=m,(D),m8.如图,PA正方形ABCD,下列结论中不正确的是()(A)PBCB(B)PDCD(C)PDBD(D)PABD二、填空题9.P为ABC所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直,则下列命题:PABC;PBAC;PCAB;ABBC.其中正确的个数是.10.(2013马鞍山模拟)如图,PAO所在的平面,AB是O的直径,C是O上一点,AEPC,AFPB,给出下列结论:AEBC;EFPB;AFBC;AE平面PBC,其中真命题的序号是.11.(2012安徽高考)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则(写出所有正确结论的编号).四面体ABCD每组对棱相互垂直;四面体ABCD每个面的面积相等;从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180;连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.12.(2013安庆模拟)如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将直角ABE沿BE边折起,A点在平面BCDE上的射影为D点,则对翻折后的几何体有如下描述:(1)AB与DE所成角的正切值是.(2)三棱锥B-ACE的体积是a3.(3)ABCD.(4)平面EAB平面ADE.其中正确的叙述有(写出所有正确结论的编号).三、解答题13.在如图所示的几何体中,四边形ACC1A1是矩形,FC1BC,EFA1C1,BCC1=90,点A,B,E,A1在一个平面内,AB=BC=CC1=2,AC=2.证明:(1)A1EAB.(2)平面CC1FB平面AA1EB.14.(能力挑战题)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,O是BD的中点,E是棱AA1上任意一点.(1)证明:BDEC1.(2)如果AB=2,AE=,OEEC1,求AA1的长.答案解析1.【解析】选B.当,l时,有l,又m,故lm.反之,当lm,m时,不一定有l,故不一定成立.因此“”是“lm”的充分不必要条件.2.【解析】选B.由面面垂直的性质定理可知,当nm时,有n.3.【解析】选B.不对,b,c可能异面;不对,b,c可能平行或异面;对,选B.4.【解析】选C.对于,由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直,因此是正确的;对于,分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点,但它们不一定平行,因此是错误的;对于,直线n可能位于平面内,此时结论显然不成立,因此是错误的;对于,由m且得m,又mn,故n,因此是正确的.5.【解析】选C.若,换为直线a,b,则命题化为“ab,且ab”,此命题为真命题;若,换为直线a,b,则命题化为“a,且abb”,此命题为假命题.若,换为直线a,b,则命题化为“a,且bab”,此命题为真命题,故选C.6.【解析】选D.如图所示,图中n与相交,中n,中n,n,排除A,B,C,故选D.7.【解析】选B.如图知A错;如图知C错;如图在正方体中,两侧面与相交于l,都与底面垂直,内的直线m,但m与不垂直,故D错.由n,n知.又m,故m,因此B正确.8.【解析】选C.由CBBA,CBPA,PABA=A,知CB平面PAB,故CBPB,即A正确;同理B正确;由条件易知D正确.9.【解析】如图所示.PAPC,PAPB,PCPB=P,PA平面PBC.又BC平面PBC,PABC.同理PBAC,PCAB.但AB不一定垂直于BC.答案:310.【解析】AE平面PAC,BCAC,BCPAAEBC,故正确;易知AEPB,又AFPBEFPB,故正确;若AFBCAF平面PBC,则AFAE,与已知矛盾,故错误;由可知正确.答案:11.【解析】错误,当AB=4,AC=3,AD=3时,AC与BD不垂直;正确,在ABC与CDA中,AB=CD,AD=BC,AC=AC,故ABC与CDA全等;同理四面体的四个面都全等,故四面体ABCD每个面的面积相等;错误,根据四面体的四个面都全等可得从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角为一个三角形的三个内角,故其和为180;正确,如图所示,E,F,G,H是所在边的中点时,四边形EFGH为菱形,故EG与FH互相垂直平分,同理可得连接四面体ABCD的每组对棱中点的线段相互垂直平分;正确,因为AD=BC,AB=CD,AC=BD,所以从四面体ABCD的顶点A出发的三条棱的长可组成BCD,同理可得从四面体ABCD的每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.答案:12.【解析】翻折后得到的直观图如图所示.AB与DE所成的角也就是AB与BC所成的角,即为ABC.因为AD平面BCDE,所以平面ADC平面BCDE.又因为四边形BCDE为正方形,所以BCCD.可得BC平面ACD.所以BCAC.因为BC=a,AB=BC=a,则AC=a.在RtABC中,tanABC=.故(1)正确;由AD=a,可得VB-ACE=VA-BCE=a2a=,故(2)正确;因为AB与CD异面,故(3)错;因为AD平面BCDE,所以平面ADE平面BCDE.又BEED,所以BE平面ADE,故平面EAB平面ADE,故(4)正确.答案:(1)(2)(4)13.【证明】(1)四边形ACC1A1是矩形,A1C1AC.又AC平面ABC,A1C1平面ABC,A1C1平面ABC.FC1BC,BC平面ABC,FC1平面ABC.又A1C1,FC1平面A1EFC1,平面A1EFC1平面ABC.又平面ABEA1与平面A1EFC1、平面ABC的交线分别是A1E,AB,A1EAB.(2)四边形ACC1A1是矩形,AA1CC1.BCC1=90,即CC1BC,AA1BC.又AB=BC=2,AC=2,AB2+BC2=AC2.ABC=90,即BCAB.AB,AA1平面AA1EB,且ABAA1=A,BC平面AA1EB.而BC平面CC1FB,平面CC1FB平面AA1EB.14.【解析】(1)连接AC,A1C1.由底面是正方形知,BDAC.因为AA1平面ABCD,BD平面ABCD,所以AA1BD.又由AA1AC=A,所以BD平面AA1C1C.再由EC1平面AA1C1C知,BDEC1.(2)设AA1的长为h,连接OC1.在RtOAE中,AE=,AO=,故OE2=()2+()2=4.在RtEA1C1中,A1E=h-,A1C1=2,故E=(h-)2+(2)2.在RtOCC1中,OC=,CC1=h,O=h2+()2.因为OEEC1,所以OE2+E=O,即4+(h-)2+(2)2=h2+()2,解得h=3,所以AA1的长为3.
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