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课时提升作业(六十一)一、选择题1.已知=(x,y)|3x+y4,x0,y0,A=(x,y)|xy,x0,y0,若向区域内随机投入一点M,则点M落入区域A的概率为()(A)(B)(C)(D)2.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()(A)(B)(C)(D)3.(2013商洛模拟)已知RtABC中,AB=3,AC=4,BAC=90,ADBC于D,E在ABC内任意移动,则E位于ACD内的概率为()(A)(B)(C)(D)4.已知三棱锥S -ABC,在三棱锥内任取一点P,使得VP-ABCVS-ABC的概率是()(A)(B)(C)(D)5.(2013南昌模拟)若a,b在区间0,上取值,则函数f(x)=ax3+bx2+ax在R上有两个相异极值点的概率是()(A)(B)(C)(D)1-6.(2013汉中模拟)在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于的概率为()(A)(B)(C)(D)7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()(A)(B)1-(C)(D)1-8.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()(A)(B)(C)(D)9.(2013黄山模拟)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,f(x)g(x)+f(x)g(x)r时,硬币与直线不相碰,P=.3.【解析】选C.由题意BC=5,ACDBCA,由几何概型知所求概率P=()2=()2=.4.【解析】选A.如图,当VP-ABC=VS-ABC时,有SABCPO=SABCSO,PO=SO,即P为SO的中点,即当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求,可计算=,由几何概型知,所求概率为.5.【思路点拨】f(x)在R上有两个相异极值点的充要条件是a0且其导函数的判别式大于0.【解析】选C.易得f(x)=3ax2+2bx+a,函数f(x)=ax3+bx2+ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a0且其导函数的判别式大于0,即a0且4b2-12a20.又a,b在区间0,上取值,则a0,ba,满足点(a,b)的区域如图中阴影部分所示,其中正方形区域的面积为3,阴影部分的面积为,故所求的概率是.6.【解析】选A.设这两个实数分别为x,y,则满足x+y的部分如图中阴影部分所示.所以这两个实数的和大于的概率为1-=.7.【解析】选B.正方体的体积为:222=8,以O为球心,1为半径且在正方体内部的半球的体积为:r3=13=,则点P到点O的距离小于或等于1的概率为=,故点P到点O的距离大于1的概率为1-.【变式备选】一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成,由题意知,蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域,则所求概率P=.8.【解析】选C.记其中被污损的数字为x.依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是(802+903+8+9+2+1+0)=90,乙的5次综合测评的平均成绩是(803+902+3+3+7+x+9)=(442+x).令90(442+x),由此解得x8,即x的可能取值是07,因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为=,选C.9.【思路点拨】构造函数,利用函数的单调性及已知条件确定f(x)g(x)的值介于4到8之间时x的取值范围,转化为区间长度的比求概率.【解析】选B.令F(x)=f(x)g(x)=ax,f(x)g(x)+f(x)g(x)=F(x)0,F(x)=ax在R上是减函数,0a0,k-1.过A(1,1)可以作两条直线与圆(x+)2+(y-1)2=+1相切,A(1,1)在圆外,得(1+)2+(1-1)2+1,k0,0,解得0m2,P=.答案：12.【解析】这种随机模拟的方法是在0,1内生成了N个点,而满足几条曲线围成的区域内的点是N1个,所以根据比例关系=,而正方形的面积为1,所以随机模拟方法得到的面积的近似值为.答案：【方法技巧】随机模拟法求面积的步骤(1)用计算器或计算机产生一系列0,1内的随机数.(2)经平移和伸缩变换,x=(b-a)x1+a,y=(d-c)y1+c,使得随机数x的范围在a,b内,随机数y的范围在c,d内.(3)统计落在所求区域内的随机数组(x,y)的个数N(有时需计算检验).(4)应用公式S=S计算近似的面积,其中S为相应矩形面积(b-a)(d-c),M为总的随机数组(x,y)的个数,S为所求图形(往往是不规则)的面积的近似值.13.【解析】如图,在-5,5上函数的图像与x轴交于两点(-1,0),(2,0),而x0-1,2,f(x0)0.所以P=0.3.答案：0.314.【解析】y=2x,y|x=1=2,切线方程为y-4=2(x-1),A(-1,0),B(0,2),圆:(x+1)2+y2=9.如图所示,AOB的面积G1=12=1,圆的面积G=r2=9,要求的概率为P=.答案：15.【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型,其中事件A包含的基本事件共2个:i,2i,所求事件的概率为P(A)=.(2)依条件可知,点M均匀地分布在平面区域(x,y)|内,属于几何概型,该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域,面积为S=34=12.而所求事件构成的平面区域为(x,y)|,其图形为如图中的三角形OAD(阴影部分).又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0),D(0,),三角形OAD的面积为S1=3=,所求事件的概率为P=.
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