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课时知能训练一、选择题1已知实数等比数列an中，Sn是它的前n项和，若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于()A35B33C31D29【解析】设等比数列的公比为q，则由a2a32a1得aq32a1，a1q32，又a4与2a7的等差中项为，a42a7，a1q32a1q6，由得S531.【答案】C2某人为了观看2010年南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为()Aa(1p)4 Ba(1p)5C.(1p)4(1p) D.(1p)5(1p)【解析】依题意，可取出钱的总数为a(1p)4a(1p)3a(1p)2a(1p)a(1p)5(1p)【答案】D3(2012中山质检)已知各项不为0的等差数列an，满足2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8()A2 B4 C8 D16【解析】数列an是等差数列，a3a112a7，由2a3a2a110得4a7a0，又an0，a74，b6b8b4216.【答案】D4已知数列an的通项公式为anlog2(nN*)，设其前n项和为Sn，则使Sn5成立的自然数n()A有最小值63 B有最大值63C有最小值31 D有最大值31【解析】anlog2log2(n1)log2(n2)，Sna1a2anlog22log23log23log24log2(n1)log2(n2)1log2(n2)，由Sn5得log2(n2)6，即n264，n62，n有最小值63.【答案】A5(2012清远调研)各项均为正数的等比数列an的公比q1，a2，a3，a1成等差数列，则()A. B.C. D.【解析】由题意知，a3a2a1，a1q2a1qa1，q2q10，又q0，q，.【答案】B二、填空题6数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为_【解析】aa1a7，即(a12d)2a1(a16d)，a12d，等比数列bn的公比q2.【答案】27设Sn是数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称数列an为“和等比数列”若数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，则数列bn_(填“是”或“不是”)“和等比数列”【解析】数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn24n122n1，bn2n1.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnn2，T2n4n2，所以4，因此数列bn是“和等比数列”【答案】是8(2012潍坊模拟)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”则介于1到200之间的所有“神秘数”之和为_【解析】设“神秘数”为x，则x(2n2)2(2n)28n4(nZ)，由1x200及nZ知，0n24，所以所有这样的“神秘数”之和为2 500.【答案】2 500三、解答题9已知数列an的前n项和为Sn，a11，且3an12Sn3(n为正整数)(1)求数列an的通项公式；(2)记S，若对任意正整数n，kSSn恒成立，求实数k的最大值【解】(1)3an12Sn3，当n2时，3an2Sn13.由得3an13an2an0，(n2)，又a11,3a22a13，解得a2，数列an是首项为1，公比为的等比数列ana1qn1()n1(nN*)(2)由(1)知，Sn1()n又对nN*恒有k1()n，得k1()n.数列1()n单调递增，当n1时，数列中的最小项为，必有k，即实数k的最大值为.10(2012湘潭模拟)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费每一年度申请总额不超过6 000元某大学2010届毕业生李霄在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1 500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4 000元李霄同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元(1)若李霄恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x的值；(2)当x50时，李霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？(参考数据：1.05182.406,1.05192.526,1.05202.653,1.05212.786)【解】(1)依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为an构成等差数列，其中a1500x，公差为x.从而到第36个月，李霄共还款1250024a1x.令12500(500x)24x24 000，解之得x20(元)，据题意，验证可行即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元；(2)设李霄第n个月还清，则应有12500(50050)(n12)5024 000，整理可得n23n8280，解之得n30，取n31，即李霄工作31个月就可以还清贷款，这个月李霄的还款额为24 00012500(50050)(3012)50450元，第31个月李霄的工资为1 5001.05191 5002.5263789元，因此，李霄的剩余工资为37894503339.11(2012肇庆调研)已知等差数列an满足：an1an(nN*)，a11，该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列bn的前三项(1)分别求数列an，bn的通项公式an，bn.(2)设Tn(nN*)，若Tnc(cZ)恒成立，求c的最小值【解】(1)设d、q分别为数列an、数列bn的公差与公比由题知，a11，a21d，a312d，分别加上1,1,3后得2,2d,42d是等比数列bn的前三项，(2d)22(42d)d2.an1an，d0.d2，an2n1(nN*)由此可得b12，b24，q2，bn2n(nN*)(2)Tn，当n1时，T1；当n2时，Tn.，得Tn().Tn133.Tn33.(3)在N*是单调递增的，(3)2,3)，满足条件Tnc(cZ)恒成立的最小整数值为c3.
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