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专题五阅读与思考,类型一数学文化 题型特点 数学是人类文化的重要组成部分,数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养.数学课程标准编写建议指出:数学文化作为教材的组成部分,应渗透在整套教材中,题目考查会涉及数学文化的背景知识和数学在自然与社会中的应用以及数学发展史的有关材料,帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,激发学习数学的兴趣,欣赏数学的优美.考查形式有选择题、填 空题和解答题三种题型.,研题型解易,方法规律 抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,是提高解题能力根本之所在.因此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问题的意识.,解题策略 典例1(2018山西百校联考三)请阅读材料,并完成相应的任务. 阿波罗尼奥斯(约公元前262190年),古希腊数学家,与欧几里得、阿基米德齐名,他的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果,它可以说是代表了希腊几何的最高水平,自此以后,希腊几何便没有实质性的进步.直到17世纪的B帕斯卡和R笛卡儿才有新的突破.阿波罗尼奥斯定理是欧氏几何的定理,表述三角形三边和中线长度关系,即三角形一条中线两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与该边中线平方和的2倍. 下面是该结论的部分证明过程. 已知:如图1所示,在锐角ABC中,AD为中线,求证:AB2+AC2=2. 证明:过点A作AEBC于点E. 设BD=CD=a,DE=b,AE=c. ,任务: (1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分; (2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题:如图2,已知P为矩形ABCD内任一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2. 思路点拨对于任务(1),在图中已过点A作了BC边的高线,根据所设的线段利用勾股定理建立等量关系,即可证明结论;对于任务(2),要充分利用阿波罗尼奥斯定理的结论,通过连接AC、BD构造出与图1相似的图形即可证明.,=(a-b)2+c2+c2+(a+b)2 =2(a2+b2+c2) =2. (2)连接AC,BD交于点O,连接OP,开放解答 证明(1)AB2+AC2=(BE2+AE2)+(AE2+EC2),由阿波罗尼奥斯定理,得 PA2+PC2=2(OA2+PO2), PB2+PD2=2(OB2+PO2). 四边形ABCD是矩形, OA=AC,OB=BD,AC=BD. OA=OB. PA2+PC2=PB2+PD2.,高分秘籍 对于此类问题,任务(1)与任务(2)有一定的联系,任务(1)由于有线段平方间的关系,自然考虑到作垂线构造直角三角形,得到任务(1)的基本结论.对于任务(2)则要充分利用前面的结论,想办法构造出任务(1)的图形,任务(2)便迎刃而解了.,当堂巩固 1.(2018山西)“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作,它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书,这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中,不属于我国古代数学著作的是( B ),类型二新材料学习型 题型特点 本专题着力考查学生的课外阅读能力,引导学生注重个人修养,拓宽视野,是山西中考“六个维度”之一.“新材料学习型问题”是近几年中考试题中出现的新题型,这类题改变了传统的“由条件求结果”模式,集阅读、理解、思考、应用于一体,综合考查阅读能力、理解能力以及运用所学知识解决问题的能力,活学活用是其最大特征.,方法规律 这类问题涵盖的知识面较广,构思新颖而多变,通常是以一个新概念、新公式 的形成,推导与应用的形式出现,或提供材料,给出一定的操作程序、数学思想方法,让学生在阅读的基础上,理解材料所提供的知识点、思想方法及解题技巧,然后运用从中学到的知识解决有关的问题.读懂材料,并利用材料中的信息解决问题是解答此类题的关键.,解题策略 典例2(2018山西)请阅读下列材料,并完成相应的任务.,任务:(1)请根据上面的操作步骤及部分证明过程,判断四边形AXYZ的形状,并加以证明; (2)请再仔细阅读上面的操作步骤,在(1)的基础上完成AX=BY=XY的证明过程; (3)上述解决问题的过程中,通过作平行线把四边形BAZY放大得到四边形BAZY,从而确定了点Z,Y的位置,这里运用了下面一种图形的变化是D. A.平移B.旋转C.轴对称D.位似 思路点拨对于任务(1),根据已知构造的两组平行线很容易得出平行四边形的结论.对于任务(2),要认真阅读操作过程中所得到的等量关系,结合上题的,结论四边形AXYZ为菱形,然后通过相等线段的转化即可得证.对于任务(3),分清楚平移、旋转、轴对称、位似的概念即可得出结论.,开放解答 解析(1)四边形AXYZ是菱形. 证明:ZYAC,YXZA,四边形AXYZ是平行四边形. ZA=YZ,AXYZ是菱形.,(2)证明:CD=CB,1=2. ZYAC,1=3. 2=3,YB=YZ. 四边形AXYZ是菱形, AX=XY=YZ.AX=BY=XY.,高分秘籍 在判断四边形的形状时,一般首先考虑平行四边形,然后根据题目中的等量关系,看是不是特殊的平行四边形,要得到相等的线段除常用的全等三角形知识以外,还会利用到特殊四边形,等腰三角形等相关知识.,当堂巩固 2.(2018山西百校联考二)皮埃尔德费马,17世纪法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”.1638年,勒奈笛卡儿邀请费马思考关于到三个顶点距离为定值的函数问题,费马经过思考并由此提出费马点的相关结论. 定义:若一个三角形的最大内角小于120,则在其内部有一点,可使该点所对三角形三边的张角均为120,此时该点叫做这个三角形的费马点.例如,如图1,点P是ABC的费马点. 请结合阅读材料,解决下列问题: 已知:如图2,锐角DEF. (1)尺规作图,并标明字母:,在DEF外,以DF为一边作等边DFG; 作DFG的外接圆O; 连接EG交O于点M; (2)求证:(1)中的点M是DEF的费马点.,解析(1)根据作图步骤,作出图形,如图1所示: (2)证明:如图2,连接DM,FM, DFG是等边三角形, DFG=FDG=DGF=60,四边形DMFG是圆内接四边形, DGF+DMF=180,DMF=120, DMG=DFG=60,DME=180-DMG=120, FMG=FDG=60,EMF=120, DME=DMF=EMF=120,点M是DEF的费马点.,
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