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4.3等腰三角形及直角三角形,中考数学 (山东专用),A组20142018年山东中考题组 考点一等腰三角形,五年中考,1.(2017滨州,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则B的大小为() A.40B.36C.80D.25,答案B设B=x,因为AB=AC,所以C=B=x,因为DA=DC,所以DAC=C=x,所以BDA=C+DAC=2x,因为BD=BA,所以BAD=BDA=2x, 所以BAC=3x, 根据三角形内角和定理得x+x+3x=180, 解得x=36.所以B=36.,2.(2017淄博,16,4分)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DEAB,DFAC,垂足分别为E,F,则DE+DF=.,答案2,解析连接AD,过点C作CGAB,垂足为G,则AG=BG=2. CG=2. SABD+SACD=SABC, ABDE+ACDF=ABCG, 4DE+4DF=4CG, DE+DF=CG=2.,3.(2018滨州,25,13分)已知,在ABC中,A=90,AB=AC,点D为BC的中点. (1)如图,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DEDF,求证:BE=AF; (2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DEDF,那么BE=AF吗?请利用图说明理由.,解析(1)证明:如图1,连接AD,BAC=90,AB=AC,D为BC的中点,DEDF,BDA=EDF=90,BD=AD,B=DAC=45,BDE+EDA=EDA+ADF,BDE=ADF, BDEADF(ASA),BE=AF. (2)BE=AF.理由如下:如图2,连接AD,易知BDA=EDF=90,BDE+BDF=BDF+ADF, BDE=ADF,又D为BC的中点,ABC是等腰直角三角形,BD=AD,ABC=DAC=45,EBD=FAD=180-45=135, BDEADF(ASA),BE=AF.,4.(2016淄博,22,8分)如图,已知ABC,AD平分BAC交BC于点D,BC的中点为M,MEAD,交BA的延长线于点E,交AC于点F. (1)求证:AE=AF; (2)求证:BE=(AB+AC).,证明(1)AD平分BAC,BAD=CAD. ADEM, BAD=AEF,CAD=AFE. AEF=AFE.AE=AF. (2)过点C作CGEM,交BE的延长线于G. EFCG,G=AEF,ACG=AFE. AEF=AFE, G=ACG.AG=AC. BM=CM,EMCG,BE=EG. BE=BG=(BA+AG)=(AB+AC).,思路分析(1)欲证明AE=AF,只要证明AEF=AFE即可. (2)作CGEM,交BE的延长线于G,先证明AC=AG,再证明BE=EG即可解决问题.,5.(2017济南,27,9分)某学习小组在学习过程中遇到了下面问题:如图1,在ABC和ADE中,ACB=AED=90,CAB=EAD=60,点E、A、C在一条直线上,F是BD的中点,连接EF、CF,试判断CEF的形状并说明理由. 问题探究: (1)小婷同学的解题思路是,先探究CEF的两条边是否相等,如EF=CF,以下是她的解答过程:,请结合以上的证明过程,解答下列两个问题: 在图1中画出证明所构造的辅助线; 在证明的括号中填写理由(请在SAS、ASA、AAS、SSS中选择); (2)在(1)证明过程的基础上,请你帮助小婷求出CEF的度数,并判断CEF的形状; 问题拓展: (3)如图2,当ADE绕点A逆时针旋转某个角度后,连接CE,延长DE交BC的延长线于点P,其他条件不变,判断CEF的形状并说明理由.,解析(1)如图: AAS. (2)设AE=a,AC=b,则DE=a,BC=b,CE=a+b. BGFDEF, BG=ED=a. CG=BC+BG=(a+b). 在RtECG中,由tanCEG=,得CEG=60.,又CF=EF, CEF是等边三角形. (3)CEF是等边三角形,理由如下: 取AD的中点M,连接ME、MF,如下图: 点M是RtAED斜边AD的中点, EM=AM. 又EAD=60, AEM是等边三角形.,AE=ME,AEM=60. 在RtABC中,易得ABC=30,AC=AB. 点M、F分别为AD、BD的中点, MF=AB,MFAB, FMA+MAB=180,且AC=MF, EAC=360-60-60-MAB=60+FMA=EMF. EACEMF(SAS). EF=EC,MEF=AEC, CEF=CEA+AEF=MEF+AEF=60. CEF是等边三角形.,易错警示本题易错处有两个:一是想不到利用三角函数求CEF的度数,导致解第(2)问时陷入困境;二是求解最后一题时,不会构造全等三角形,无法切入解题过程,导致望题兴叹,茫然不知所措.,方法规律(1)本题是几何压轴题,考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线性质、利用特殊角的三角函数值求特殊角的度数等知识,并通过阅读材料这种课题学习的形式呈现,较为新颖. (2)阅读材料往往会为我们提供一些解题方法或给出解题暗示,要求在理解的基础上进行问题的解答,或在阅读材料中提供一些操作方法,要求同学们去模拟并探究,或提供一个解题过程,这种题不仅考查了同学们的阅读能力,而且还综合考查了同学们的创新意识及转化能力.,考点二直角三角形,1.(2018滨州,1,3分)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为() A.5B.6C.7D.8,答案A根据勾股定理直接求得弦为=5.,2.(2018枣庄,10,3分)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA,PB,那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是() A.2B.3C.4D.5,答案B如图,设每个小矩形的长与宽分别为x、y,则有2x=x+2y,从而x=2y.因为线段AB是12的矩形对角线,所以根据网格作垂线可知,过点B与AB垂直且相等的线段有AP1和BP2,过点A与AB垂直且相等的线段有AP3,且P1,P2,P3都在顶点上,因此满足题意的点P共有3个,故选B.,3.(2018淄博,11,4分)如图,在RtABC中,CM平分ACB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点N,且MN平分AMC.若AN=1,则BC的长为() A.4B.6C.4D.8,答案BMNBC,MN平分AMC,CM平分ACB,AMN=NMC =NCM=BCM=B. 又A=90,AMN=B=30. MN=2AN=2=NC,AC=AN+NC=3, BC=2AC=6.,4.(2016东营,9,3分)在ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于() A.10B.8C.6或10D.8或10,答案C由图1可知,BD=8,CD=2,则BC=8+2=10; 由图2可知,BD=8,CD=2,则BC=8-2=6.故选C.,思路分析根据题意画出相应的图形,然后利用勾股定理分别求出BC的长.,易错警示解答本题易出现只考虑高在三角形内部的情况,而忽视高在外部的情况而漏解.,5.(2018德州,15,4分)如图, OC为AOB的平分线,CMOB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为 .,答案3,解析如图,过点C作CNOA,垂足为N, OC平分AOB,CMOB,CN=CM. 在Rt中,CM=3,CN=3,即点C到射线OA的距离为3.,6.(2017青岛,13,3分)如图,在四边形ABCD中,ABC=ADC=90,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD,若BAD=58,则EBD为度.,答案32,解析ABC=ADC=90,E为AC的中点, AE=BE=DE,BAE=ABE,DAE=ADE. BED=BAE+ABE+DAE+ADE=2BAD=116. BE=DE,EBD=(180-BED)=(180-116)=32.,思路分析先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得AE=BE=DE,再根据等腰三角形的性质得BAE=ABE,DAE=ADE,再利用三角形外角的性质求得BED的度数,进而求得等腰三角形BED的底角EBD的度数.,方法规律由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以若问题中出现直角三角形斜边中点时,通常从斜边上的中线,把直角三角形分成的两个等腰三角形入手进行解答.,7.(2015聊城,15,3分)如图,在ABC中,C=90,A=30,BD是ABC的平分线.若AB=6,则点D到AB的距离是.,答案,解析C=90,A=30,ABC=60,BC=3,BD平分ABC,CBD=ABC=30,由 题意知点D到AB的距离等于DC的长,在RtBDC中,DC=BCtanDBC=3=,点D到AB 的距离等于.,思路分析根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等,得到点D到AB的距离等于DC,在RtBDC中,利用三角函数知识可以求出DC.,B组20142018年全国中考题组 考点一等腰三角形,1.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于() A.15B.30C.45D.60,答案A由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,2.(2017浙江台州,8,4分)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是() A.AE=ECB.AE=BE C.EBC=BACD.EBC=ABE,答案CABC是等腰三角形, AB=AC,ABC=ACB,又BC=BE,ACB=BEC,BAC=EBC,故选C.,3.(2016湖北荆门,4,3分)如图,ABC中,AB=AC,AD是BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为() A.5B.6C.8D.10,答案C因为AB=AC,AD平分BAC, 所以ADBC,BD=CD, 所以ADB=90,在RtABD中,AB=5,AD=3, 所以BD=4,所以BC=2BD=8.,4.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.,答案,解析连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC=AC=2, DEB=C=60. EFAC,EFC=90, FEC=30,EF=, DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG=.,在RtDEG中,DG=.,思路分析连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.,疑难突破本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.,5.(2017黑龙江绥化,20,3分)在等腰ABC中,ADBC交直线BC于点D,若AD=BC,则ABC的 顶角的度数为.,答案30或150或90,解析BC为腰, ADBC于点D,AD=BC, AD=AC, ACD=30, 如图1,当AD在ABC内部时,C=30,即顶角的度数为30; 如图2,当AD在ABC外部时,ACB=180-30=150,即顶角的度数为150; BC为底,如图3, ADBC于点D,AD=BC, AD=BD=CD, B=BAD,C=CAD, BAD+CAD=180=90, BAC=90,即顶角的度数为90. 综上所述,等腰三角形ABC的顶角度数为30或150或90.,6.(2017吉林,20,7分)图、图、图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点.线段AB的端点在格点上. (1)在图、图中,以AB为边各画一个等腰三角形,且第三个顶点在格点上;(所画图形不全等) (2)在图中,以AB为边画一个平行四边形,且另外两个顶点在格点上.,解析(1)每画对一个得2分.答案不唯一,以下答案供参考. (4分) (2)画对一个即可.答案不唯一,以下答案供参考. (7分),考点二直角三角形,1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=() A.2B.3C.4D.2,答案C在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易证ACDCBD,则CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故选C.,2.(2016广西百色,6,3分)如图,ABC中,C=90,A=30,AB=12,则BC=() A.6B.6C.6D.12,答案AC=90,A=30,AB=12,BC=AB=12=6.故选择A.,答案BPAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB=AB=3,BC=4, OC=5,又OP=AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,3.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足PAB=PBC.则线段CP长的最小值为() A.B.2C.D.,4.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm(杯壁厚度不计).,答案20,解析如图,将圆柱侧面展开,延长AC至A,使AC=AC,连接AB,则线段AB的长为蚂蚁到蜂蜜的最短距离.过B作BBAD,垂足为B.在RtABB中,BB=16,AB=14-5+3=12,所以AB=20,即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm.,5.(2018天津,18,3分)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,ABC的顶点A,B,C均在格点上. (1)ACB的大小为; (2)在如图所示的网格中,P是BC边上任意一点,以A为中心,取旋转角等于BAC,把点P逆时针旋转,点P的对应点为P,当CP最短时,请用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明).,答案(1)90. (2)如图,取格点D,E,连接DE交AB于点T;取格点M,N,连接MN交BC延长线于点G;取格点F,连接FG交TC延长线于点P,则点P即为所求.,解析(1)每个小正方形的边长为1, AC=3,BC=4,AB=5, (3)2+(4)2=50=(5)2, AC2+BC2=AB2, ABC是直角三角形,且ACB=90. (2)在射线AC上取格点F,使AF=AB=5,则点F为点B的对应点,根据直线BC的位置,取格 点M,N,连接MN交BC的延长线于点G,可求得CG=+=,连接GF,CF,易得ACB GCF,则GF所在直线即为BC旋转后对应边所在直线. 取格点D,E,连接DE交AB于点T,则点T为线段AB的中点,作直线CT,所以TC=TA,ACT=CAT,记直线CT交FG于点P,因为PCF+PFC=ACT+ABC=90,所以FPC=90,即CPFG,所以点P即为所求作的点.,思路分析(1)由勾股定理求得AC,BC,AB的长,根据勾股定理的逆定理判断出直角三角形;(2)P是BC边上任意一点,把ACB绕点A逆时针旋转,使旋转角等于BAC,那么点P的对应点P在边CB旋转后的对应边上,当CP垂直于CB旋转后的对应边时,线段CP最短,确定CB旋转后的对应边的位置,作出垂线,即可确定点P的位置.,C组教师专用题组 考点一等腰三角形,1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是() A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案B无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,2.(2016湖南湘西,14,4分)一个等腰三角形一边长为4 cm,另一边长为5 cm,那么这个等腰三角形的周长是() A.13 cmB.14 cm C.13 cm或14 cmD.以上都不对,答案C当等腰三角形的腰长为4 cm时,三角形的三边长分别是4 cm,4 cm,5 cm,符合三角形的三边关系,此时,等腰三角形的周长为13 cm; 当等腰三角形的腰长为5 cm时,三角形的三边长分别是5 cm,5 cm,4 cm,符合三角形的三边关系,此时,等腰三角形的周长为14 cm,故选C.,3.(2015淄博,8,4分)如图,在平行四边形ABCD中,B=60,将ABC沿对角线AC折叠,点B的对应点落在点E处,且点B,A,E在一条直线上,CE交AD于点F,则图中的等边三角形共有() A.4个B.3个C.2个D.1个,答案BABC沿对角线AC折叠,点B,A,E在一条直线上,E=B=60,BCE是等边三角形;ADBC,EAF=B=60,EAF是等边三角形;BECD, D=EAF=60,E=DCF=60, CDF是等边三角形.,4.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是() A.5B.6C.7D.8,答案A如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.,5.(2017贵州黔西南,18,3分)已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6,则该等腰三角形的周长是.,答案15,解析当腰为3时,3+3=6,3、3、6不能组成三角形; 当腰为6时,3+6=96, 3、6、6能组成三角形, 该三角形的周长为=3+6+6=15.,6.(2016黑龙江齐齐哈尔,17,3分)有一面积为5的等腰三角形,它的一个内角是30,则以它的 腰长为边的正方形的面积为.,答案20或20,解析在等腰ABC中,设AB=AC=x.当顶角A=30时,如图1,作CDAB,垂足为D.sin 30=,CD=x,xx=5,x2=20, 即以它的腰长为边的正方形的面积为20; 当底角B=ACB=30时,如图2,作CDBA,交BA的延长线于D.DAC=B+ACB=60,sin 60=,CD=x,xx=5,x2=20,即以它的腰长为边的正方形的面积 为20. 综上,以它的腰长为边的正方形的面积为20或20.,7.(2017湖北恩施州,18,8分)如图,ABC、CDE均为等边三角形,连接BD,AE,BD与AE交于点O,BC与AE交于点P.求证:AOB=60.,证明ABC和ECD都是等边三角形, AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=60, ACB+BCE=DCE+BCE, 即ACE=BCD, 在ACE和BCD中, ACEBCD(SAS), CAE=CBD, BPO=APC, BOP=ACP=60,即AOB=60.,8.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析(1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线,AD=AC,AE=AB,AD=AE, 又A=A,ABDACE,BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形.,9.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE,BD交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.,解析(1)证明:如题图1,ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD, BCD=ACE, 在ACE和BCD中, ACEBCD(SAS), AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM,AOBDOE, EMCBNC.,10.(2015重庆A卷,25,12分)如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.点E是BAC角平分线上一点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DHAC,垂足为H,连接EF,HF. (1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2,求AB,BD的长; (2)如图1,求证:HF=EF; (3)如图2,连接CF,CE.猜想:CEF是不是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.,图1,图2,解析(1)点H是AC的中点,AC=2, AH=AC=.(1分) ACB=90,BAC=60, ABC=30,AB=2AC=4.(2分) DAAB,DHAC, DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2.(3分) 在RtADB中,DAB=90, BD2=AD2+AB2. BD=2.(4分) (2)证明:连接AF,如图.,F是BD的中点,DAB=90, AF=DF,FDA=FAD.(5分) DEAE,DEA=90. DHA=90,DAH=30, DH=AD. AE平分BAC, CAE=BAC=30.,DAE=60,ADE=30. AE=AD,AE=DH.(6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD, FDH=FAE.(7分) FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分) (3)CEF是等边三角形.(9分) 理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图.,F是BD的中点,FGDA,FG=DA. FGA=180-DAG=90, 又AE=AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90, 点G为AB的中点,CG=AG. 又CAB=60, GAC为等边三角形.(10分) AC=CG,ACG=AGC=60. FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS).(11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60, CEF是等边三角形.(12分),考点二直角三角形,1.(2017浙江绍兴,6,4分)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左侧墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为() A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米,答案C如图,由题意得,AC=2.4米,BC=0.7米,在RtABC中,AB=2.5(米),又因为 AB=BD,所以在RtBDE中,BE=1.5(米),则小巷的宽度CE=BC+BE=0.7+ 1.5=2.2(米).,2.(2017四川南充,7,3分)如图,等边OAB的边长为2,则点B的坐标为() A.(1,1)B.(,1)C.(,)D.(1,),答案D如图,过点B作BCOA于点C,则OC=1,在RtBCO中,BC=, 点B的坐标为(1,).,3.(2017辽宁大连,8,3分)如图,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为() A.2aB.2aC.3aD.a,答案B在RtCDE中,CD=DE=a,CE=CD=a,AB=2CE=2a,故选B.,4.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD=.,答案-1,解析由题意知ABC,ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=,由勾股定理得BC =AD=2.过A作AFBC于F,则FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD=,故CD=FD-FC= -1.,5.(2017四川乐山,14,3分)点A、B、C在格点图中的位置如图所示,格点小正方形的边长为1,则点C到线段AB所在直线的距离是.,答案,解析连接AC、BC,过点B作BEAC于点E,过点C作CDAB,交AB的延长线于点D. 则BC=AB=,AC=3, CE=AC=, 在RtBCE中,由勾股定理,得 BE=, SABC=ACBE=ABCD, CD=.,6.(2016福建莆田,16,4分)魏朝时期,刘徽利用如图“以盈补虚,出入相补”的方法,即“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类”,证明了勾股定理.若图中BF=1,CF=2,则AE的长为.,答案3,解析由已知得四边形ABCD是正方形,BF=1,CF=2, AD=AB=DC=BC=BF+CF=3.RtABF中,AF=,BCAD,EFC EAD,=,即=,解得AE=3AF=3.,7.(2016四川广安,24,8分)在数学活动课上,老师要求学生在55的正方形ABCD网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与AB或AD都不平行,画四种图形,并直接写出其周长(所画图形相似的只算一种).,解析第一种(四选一): 周长=2+周长=2+2,周长=2+周长=2+ 第二种(二选一):,周长=3+周长=3+,周长=4+2周长=5+周长=5+,8.(2016湖南益阳,20,10分)在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求ABC的面积. 某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程. 作ADBC于D, 设BD=x,用含x 的代数式表示CD根据勾股定理,利用 AD作为“桥梁”,建 立方程模型求出x利用勾股定理求 出AD的长,再计 算三角形面积,解析如图,在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x.(2分) 由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2, AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2, 152-x2=132-(14-x)2,解之得x=9.(7分) AD=12.(8分) SABC=BCAD=1412=84.(10分),9.(2017江苏南京,22,8分)“直角”在初中几何学习中无处不在.如图,已知AOB ,请仿照小丽的作图方法,再用两种不同的方法判断AOB是不是直角(仅限用直尺和圆规). 小丽的作图方法: 如图,在OA,OB上分别取点C,D,以C为圆心,CD长,为半径画弧,交OB的反向延长线于点E,若OE=OD, 则AOB=90.,解析本题答案不唯一,下列方法供参考.例如: 方法1:如图,在OA,OB上分别截取OC=4,OD=3, 若CD=5,则AOB=90. 方法2:如图,在OA ,OB上分别取点C ,D ,以CD为直径画圆.,若点O在圆上,则AOB=90.,A组20162018年模拟基础题组 考点一等腰三角形,三年模拟,1.(2016泰安新泰,14)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,则点C的个数是() A.6B.7C.8D.9,答案C如图,分两种情况讨论: AB为等腰ABC底边时,符合条件的C点有4个; AB为等腰ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个. 综上,符合条件的点C有8个,故选C.,2.(2018淄博高青一模,18)如图,已知等边三角形ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,作DMBC,垂足为M,求证:M是BE的中点.,证明连接BD,等边三角形ABC中,D是AC的中点, DBC=ABC=60=30,ACB=60, CE=CD,CDE=E, 又ACB=CDE+E,E=30,DBC=E, BD=ED,BDE为等腰三角形, 又DMBC,M是BE的中点.,3.(2016聊城莘县二模,20)如图,已知ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,EFB=60,DC=EF. (1)求证:四边形EFCD是平行四边形; (2)若BF=EF,求证:AE=AD.,证明(1)ABC是等边三角形,ABC=60, EFB=60,ABC=EFB, EFDC(内错角相等,两直线平行), 又DC=EF,四边形EFCD是平行四边形. (2)连接BE,BF=EF,EFB=60, EFB是等边三角形,EB=EF,EBF=60. DC=EF,EB=DC,ABC是等边三角形, ACB=60,AB=AC, EBF=ACB,AEBADC(SAS), AE=AD.,考点二直角三角形,1.(2018青岛胶州期末,7)下列各组数:8,15,17;7,12,15;12,15,20;7,24,25.其中能作为直角三角形的三边长的是() A.B.C.D.,答案A82+152=172;72+122152;122+152202;72+242=252.故可作为直角三角形的三边长.,2.(2016聊城阳谷一模,10)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则() A.A为直角B.C为直角 C.B为直角D.ABC不是直角三角形,答案A(a+b)(a-b)=c2,a2-b2=c2,即c2+b2=a2,故ABC是直角三角形,且a为直角三角形的斜边,A为直角.故选A.,一、选择题(共3分) 1.(2016青岛市南区一模,5)如图,在ABC中,C=90,AB=5 cm,AC=4 cm,点D在AC上,将BCD沿着BD所在直线翻折,使点C落在斜边AB上的点E处,则DC的长为() A. cmB. cmC.2 cmD. cm,B组 2016-2018年模拟提升题组,(时间:15分钟分值:20分),答案BC=90,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=3 cm, 将BCD沿着BD所在直线翻折,使点C落在斜边AB上的点E处,BEDBCD, BED=C=90,BE=BC=3 cm,AE=AB-BE=2 cm, 设DC=x cm,则DE=x cm,AD=(4-x)cm, 在RtADE中,由勾股定理得AE2+DE2=AD2,即22+x2=(4-x)2, 解得x=.故选B.,二、填空题(每小题3分,共9分) 2.(2018青岛中考样题二,13)如图,平面直角坐标系中,点A、B分别是x轴、y轴上的动点,以AB为边作边长为2的正方形ABCD,则OC的最大值为.,答案+1,解析取AB的中点E,连接OE、CE,则BE=2=1, 在RtBCE中,由勾股定理,得CE=, AOB=90,点E是AB的中点,OE=BE=1, 又OCOE+EC=1+,且当点O、E、C三点共线时,等号成立,此时OC最大, OC的最大值为+1.,3.(2016泰安泰山,23)如图,在梯形ABCD中,ADBC,BCD=90,BC=2AD,F、E分别是BA、BC的中点,则下列结论正确的是.(填序号) ABC是等腰三角形;四边形EFAM是菱形; SBEF=SACD;DE平分CDF.,答案,解析连接AE, E为BC的中点,BE=CE=BC, 又BC=2AD,AD=BE=EC, 又ADBC, 四边形ABED、四边形AECD为平行四边形. 又DCB=90, 四边形AECD为矩形, AEC=90,即AEBC, AE垂直平分BC, AB=AC,即ABC为等腰三角形,正确;,E为BC的中点,F为AB的中点, AF=AB,EF为ABC的中位线, EFAC,EF=AC,EF=AF, 又四边形ABED为平行四边形, AFME,又EFAC, 四边形AFEM为平行四边形, 四边形AFEM为菱形,正确; 过F作FNBC于N点,则FNAE, 又F为AB的中点,N为BE的中点, FN为ABE的中位线,FN=AE=CD. 又BE=AD,SBEF=BEFN,SACD=ADCD, SBEF=SACD,正确; 根据已知不能推出DE平分CDF,错误.,故答案为.,4.(2016泰安新泰,22)如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AGCD于点G,则=.,答案,解析在等边ABC中,ECA=B,AC=AB=BC, AD=BE,BD=CE,CAEBCD, DCB=EAC, AFG=CAF+ACF=DCB+ACF=60, AGCD,FAG=30,=.,三、解答题(共8分) 5.(2016临沂罗庄一轮模拟,21)如图,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD的中点)按顺时针方向旋转. (1)如图,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想; (2)若三角尺GEF旋转到如图的位置,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.,解析(1)BM=FN. 证明:GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形, ABD=F=45.由题意可知OB=OF. 在OBM和OFN中, OBMOFN. BM=FN. (2)BM=FN仍然成立. 证明:GEF是等腰直角三角形, GFE=45,NFO=135. 四边形ABCD是正方形, OBC=45,CBM=90,OBM=135,由题意知OB=OF. 在OBM和OFN中,OBMOFN. BM=FN.,C组20162018年模拟探究题组 1.(2018德州齐河二模,24)数学复习课上,张老师出示了下框中的问题: 已知:在RtACB中,ACB=90, 点D是斜边AB上的中点,连接CD. 求证:CD=AB.,问题思考,(1)经过独立思考,同学们想出了多种正确的证明思想,其中有位同学的思路如下:如图1,过点B作BEAC交CD的延长线于点E,请你根据这位同学的思路证明上述框中的问题; 方法迁移 (2)如图2,在RtACB中,ACB=90,点D为AB的中点,点E是线段AC上一动点,连接DE,线段DF始终与DE垂直且交BC于点F.试猜想线段AE,EF,BF之间的数量关系,并加以证明; 拓展延伸 (3)如图3,在RtACB中,ACB=90,点D为AB的中点,点E是线段AC延长线上一动点,连接DE,线段DF始终与DE垂直且交CB延长线于点F.试问第(2)小题中线段AE,EF,BF之间的数量关系会发生改变吗?若会,请写出关系式;若不会,请说明理由.,解析(1)证明:BEAC,A=DBE,ACD=E, 又点D是AB的中点,AD=DB,ACDBED, AC=BE,CD=ED,又BEAC,ACB+EBC=180, 又ACB=90,EBC=90, BC=CB,ACBEBC, CE=AB,CD=CE=AB. (2)线段AE、EF、BF之间的数量关系是AE2+BF2=EF2. 理由如下: 如图,过B作BGAC交ED的延长线于点G,连接FG, BGAC,A=DBG,AED=DGB, 又点D为AB的中点,AD=DB, ADEBDG,AE=BG,GD=ED, 又DEDF,EF=FG,BGAC,ACB+GBC=180, 又ACB=90,GBC=90, BG2+BF2=FG2,AE2+BF2=EF2. (3)线段AE、EF、FB的数量关系不会发生改变,仍有AE2+BF2=EF2.理由如下: 如图,过A作AGBC交FD的延长线于点G,连接EG,AGBC,GAD=DBF,AGD=DFB, 又点D为AB的中点,AD=DB,ADGBDF, AG=BF,GD=DF, 又DEDF,EF=EG, AGBC,EAG=ACB=90,AE2+AG2=EG2,AE2+BF2=EF2.,2.(2017济南天桥一模,27)如图,正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B的坐标为(-4,4).点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q且平行于y轴的直线l相交于点D.连接BD,与y轴交于点E,连接PE.设点P运动的时间为t(s). (1)PBD的度数为 ,点D的坐标为 (用t表示); (2)当t为何值时,PBE为等腰三角形? (3)探索POE周长是否随时间t的变化而变化.若变化,说明理由;若不变,试求这个定值.,解析(1)45;(t,t). 由题意可得AP=OQ=1t=t.AO=PQ. 四边形OABC是正方形,l平行于y轴, BAP=PQD=90,AO=AB, DPBP,BPD=90,BPA=90-DPQ=PDQ. AO=PQ,AO=AB,AB=PQ. 在BAP和PQD中, BAPPQD(AAS).AP=QD=t,BP=PD. 又OQ=t,BPD=90, 点D的坐标为(t,t),PBD=PDB=45. (2)若PB=PE,由PABDQP得PB=PD, 显然PBPE,这种情况应舍去. 若EB=EP,则PBE=BPE=45.,BEP=90.PEO=90-BEC=EBC. 在POE和ECB中, POEECB(AAS).OE=CB=OC, 点E与点C重合(EC=0),点P与点O重合(PO=0). 点B(-4,4),AO=CO=4.此时t=4. 若BP=BE, 在RtBAP和RtBCE中, RtBAPRtBCE(HL).AP=CE. AP=t,CE=t,PO=EO=4-t. POE=90,PE=(4-t). 截取AF,使得AF=CE,连接BF,如图所示.,在FAB和ECB中, FABECB.FB=EB,FBA=EBC. EBP=45,ABC=90,ABP+EBC=45. FBP=FBA+ABP=EBC+ABP=45. FBP=EBP. 在FBP和EBP中,FBPEBP(SAS).FP=EP, EP=FP=FA+AP=CE+AP,EP=t+t=2t, (4-t)=2t,解得t=4-4, 当t为4或4-4时,PBE为等腰三角形. (3)POE的周长不随时间t的变化而变化. 将BCE绕点B按顺时针方向旋转90,得到BAH, BE=BH,CE=AH,EBH=90,EBP=45=PBH, BP=BP,PBEPBH.EP=PH=AH+AP=CE+AP, POE的周长=OP+OE+PE=OP+OE+CE+AP=OA+OC=4+4=8.,
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