求数列前n项和的几种常用方法

求数列前n项和的几种常用方法江苏省 马吉超一、公式法如果数列是等差或等比数列，可直接利用前n项求和公式，这是 J； J最基本的方法。但应注意等比数列前 N项求和公式s =巳卫/中q幻 sn 1-q的条件。例1求$二x 乂-* x解：当x=1时，sT+1十+1 = n。x1 打当X右时，& =处匕丿。n 1 - x二、分组转化法如果所给数列的每一项是由等差、等比或特殊数列对应项的和或 差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求 和。例 2 求 9 =(1+2)+(2+4)+(3+8)+(门+夕)解: $=(1 + 2+3+ n) +&+22+2+2例 3 求 $ =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n)2解： 丫 1 + 2 + 3 + n = n(n 十1)=n2 2 21 / 2 2 2 21二 Sn七 1 +2 +3 + +n)+?紂2+3 +n)三、倒序相加法如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和 相等，可用此法。(等差数列求和公式可用此法推导)例4求所有大于2且小于10的分母为5的既约分数的和解:又11 12134748 49s =555555494847131211s 二555555+得故 s=192例 5 求s=c： % 3C nC； n 1 C： 解：s=cn+2C：+3cn+ ：c：r（：+%：s=（： +1）c：+ ：6十+2cc0n -m+得故 s = n 2 2：J四、错位相减法形如 b的数列，其中丿是等差数列，是等比数列，则 可在求和等式两边同乘 b啲公比，然后两等式错位相减。（等比数列 求和公式可用此法推导）例 6 求 9=仆2+2乂22 +3 乂 23+：j2： s22 +（n_ 12：J + n辺2n二 2s： =1 疋 2?+2疋 2彳+ +（ n_ 1）2“ + nZn41一得故 s：二 n-1 厂 2五、裂项相消法如果求和数列的每一项均能分裂成对应两项的差， 求和时，大部分正负项又可以相消，则可用此法例 7 求 0 = 1+ +解: 1 +2 +3 十+nn 1212 3123 R- nnn n 1 n n 12 1 -I n +1 丿例 8 求 s = 1 + : +十:例 求 Sn 1.2 . 2 、3. n 、n 1解 t1= Jn +1 _ 你二 s = (j2-1)+(薦-V2)+3 +1 仆)六、二项式定理法某些由组合数构成的数列求和时，往往用二项式定理更有效。只2“ 2例9求S c亠1亠一CnCn解：由二项式定理22n nX CnXCnX(1)1n -1n -1nCnXCnX (nnn2n 2nXC2nXC2nX.n 011 x P Cn-0 nX 1 =CnX2n 011 X =C2n C2nnn2nT 1 x x 1 X.与的积中含xn项的系数 应与中含xn项的系数C2n相等。故 S=cn七叫卩心）2%。七、常见结论法熟悉一些常见结论，对解决求和问题很有益处。如m 222 n c 1 +2 + n =6（ nT2 n+O 1 2n 2 n i 2等差数列的前N项和、次N项和、后N项和构成等差数列。等比数列的前N项和、次N项和、后N项和构成等比数列。例10设某等差数列的前10项和$厂5，前20项的和今厂20,求该数列前 30项的和sso.解:由 S10、（S2。_ S。）、0 - S2。）构成等差数列知:2（S20 _S10）= S。+（S3。- S20），即22一5 =5S30 -20 ,得45