08第八章 非线性控制系统

自动控制理论学习指导63第八章第八章 非线性控制系统非线性控制系统一基本要求：一基本要求：1了解非线性控制系统与线性控制系统最重要的区别；2掌握自动控制系统中常见的典型非线性特性；3了解分析非线性控制系统的常用两种方法描述函数法和相平面法。4掌握分析非线性控制系统的方法描述函数法；5熟练掌握应用描述函数分析法分析系统的稳定性；6掌握应用描述函数分析法，分析系统自振荡产生的条件及振幅和频率的确定。二本章要点：二本章要点：1常见的典型非线性特性：饱和特性、死区特性、回环特性、继电器特性、变放大系数特性等。2非线性系统的特性：非线性控制系统与线性控制系统相比，有如下特点：（1）非线性控制系统的稳定性，不仅取决于系统的结构和参数，而且与输入信号的幅值和初始条件有关。（2）在非线性控制系统中，如果输入是正弦信号，输出就不一定是正弦信号，而是一个畸变的波形，它可以分解为正弦波和无穷多谐波的叠加。（3）叠加原理不适用于非线性控制系统。（4）非线性控制系统常常产生自振荡。在非线性控制系统中，即使没有外加的输入信号，系统自身产生一个有一定频率和幅值的稳定振荡，称为自振荡（自持振荡）。自振荡是非线性控制系统的特有运动模式，它的振幅和频率由系统本身的特性所决定。3非线性控制系统的分析研究方法：目前分析非线性控制系统的常用方法之一描述函数法，是一种基于频率域的分析方法。这种方法主要用于研究非线性系统的稳定性和自振荡问题。如系统产生自振荡，如何求第八章 非线性控制系统64出其振荡的频率和幅值，以及寻求消除自振荡的方法等。非线性控制系统经过变换和归化可表示为图 8-1 所示的典型结构。其中函数)(XN称为该非线性元件的描述函数，)(jG为系统的线性环节。此描述函数)(XN是正弦输入信号幅值X的函数，这时线性系统中的频率法就可用来研8-1 非线性控制系统典型结构图究非线性系统的基本特性，而)(1XN称为描述函数的负倒特性。4用描述函数法分析非线性控制系统稳定性：仿效线性系统用奈氏判据来判定非线性系统的稳定性，不再是参考点)0,1(j，而是一条)(1XN的轨迹线。因此，对非线性系统进行稳定分析时，首先要在复平面上分别绘制出以频率为变量的)(jG幅相特性曲线和以幅值X为变量的)(1XN曲线，然后根据它们的相对位置来判定该系统的稳定性。（1）如果)(1XN的轨迹没有被)(jG曲线所包围，则非线性系统是稳定的。而且两曲线相距愈远，系统愈稳定。（2）如果)(1XN的轨迹被)(jG曲线所包围，则相应的非线性系统是不稳定的。（3）如果)(1XN的轨迹与)(jG曲线相交，则系统的输出有可能产生自持振荡。为简便判断交点处产生的自持振荡是否稳定，我们以)(jG曲线为界把复平面划分为稳定区和不稳定区。若)(1XN曲丝沿箭头方向由不稳定区经交点进入稳定区，则在该交点处产生的自持振荡是稳定的；若)(1XN曲线沿箭头方向由稳定区经交点进入不稳定区，该交点产生的自持振荡就是不稳定的。三典型例题分析：三典型例题分析：例例 8-18-1 非线性系统的)(jG及)(1XN的轨迹如图 8-2 所示，试判断该系统是否稳定。自动控制理论学习指导65ImRe0QP-1/NG(jw)-1X-1/N0)(jGImRe图8-2非线性系统框图图 8-3非线性系统框图解：解：因为由图可知，)(jG曲线包围了)(1XN曲线，所以不论幅值X如何变化，该非线性系统都是不稳定的。例例 8-28-2非线性系统的)(jG及)(1XN的轨迹如图 8-3 所示，试判断该系统有几个点存在自振荡。解：解：因为由图可知，在复平面上)(jG曲线与)(1XN相交，系统可能发生自持振荡。图中)(1XN曲线沿箭头方向由稳定区经交点P进入不稳定区，所以P点不存在自持振荡；而)(1XN曲线沿箭头方向从不稳定区经交点Q进入到稳定区，所以交点Q处存在自持振荡。例例 8-38-3 具有理想继电型非线性元件的非线性控制系统如图 8-4(a)所示，试确定系统自振荡的幅值和频率。第八章 非线性控制系统66)12.0)(11.0(15sss2-20-xyxyrc图8-4(a)非线性控制系统结构图解解：（1）在复平面上分别绘制)(1XN曲线和)(jG曲线。绘制)(1XN曲线：由理想继电型非线性特性可知XMXN4)(由图 8-4(a)的系统结构图知2M，则得负倒数描述函数：84)(1XMXXN当X从0变化时，0)(1XN，)(1XN曲线起始于坐标原点)0,0(，并随着幅值X的增大沿着复平面的复实轴向左移动，终止于，如图 8-4(b)所示。绘制)(jG曲线：由于)(jG与实轴相交：0)0004.005.01()02.01(15)(422jImG，解得：50，代入)(jReG求得：10004.005.015.4)(504250jReG图 8-4(b)(jG与)(1XN则)(jG曲线示于图 8-4(b)。（2）确定系统自振荡的幅值和频率：由图 8-4(b)可见：)0,1(j点为)(jG曲线与负实轴的交点，亦是)(1XN和)(jG的交点。因)(1XN穿出)(jG，故交点为自持振荡点。自振频率50,自振振幅由下列方程解出：自动控制理论学习指导671)(Re)(150jGXN，即18 X，55.28X 例例 8-48-4非线性系统的)(jG及)(1XN的轨迹如图 8-5 所示，(该非线性系统相对负倒数描述函数)(1XN曲线重合于实轴，为了清晰起见，画成了双线)。其中交点1M处的振幅为76.01X，交点2M处的振幅为83.12X，频率为200。试确定系统是否存在自持振荡，若有自持振荡，求出系统自持振荡的幅值和频率。解：解：)(1XN的 轨 迹 与)(jG曲线相交，则系统的输出有可能产生自持振荡。在交点1M处，)(1XN曲线沿箭头方向从稳定图 8-5非线性系统区进入了不稳定区，1M点产生的自持振荡就是不稳定的；而在交点2M处，)(1XN曲线沿箭头方向是由不稳定区进入到了稳定区，故在该交点处产生的自持振荡是稳定的；即2M点是自振荡点，所以系统自持振荡的幅值为83.12X，频率为200。四四.习题习题8-1如图 8-6 所示的非线性系统，非线性部分的描述函数为XMXN4)(（M=1），线性部分的传递函数为2)15.0(4)(ssjG，试用描述函数法讨论：第八章 非线性控制系统68(1)该系统是否存在稳定的自持振荡点。(2)确定其自持振荡的幅值和频率。图 8-6非线性控制系统框图8-2 非线性系统如图 8-7 所示，(1)该系统是否存在稳定的自持振荡点。(2)确定其自持振荡的幅值和频率。图 8-7非线性控制系统框图8-3非线性系统)(jG及)(1XN的轨迹如图 8-8 所示，试判断该系统有几个点是稳定的自持振荡点。图 8-8非线性系统图