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自动控制理论学习指导63第八章第八章 非线性控制系统非线性控制系统一基本要求:一基本要求:1了解非线性控制系统与线性控制系统最重要的区别;2掌握自动控制系统中常见的典型非线性特性;3了解分析非线性控制系统的常用两种方法描述函数法和相平面法。4掌握分析非线性控制系统的方法描述函数法;5熟练掌握应用描述函数分析法分析系统的稳定性;6掌握应用描述函数分析法,分析系统自振荡产生的条件及振幅和频率的确定。二本章要点:二本章要点:1常见的典型非线性特性:饱和特性、死区特性、回环特性、继电器特性、变放大系数特性等。2非线性系统的特性:非线性控制系统与线性控制系统相比,有如下特点:(1)非线性控制系统的稳定性,不仅取决于系统的结构和参数,而且与输入信号的幅值和初始条件有关。(2)在非线性控制系统中,如果输入是正弦信号,输出就不一定是正弦信号,而是一个畸变的波形,它可以分解为正弦波和无穷多谐波的叠加。(3)叠加原理不适用于非线性控制系统。(4)非线性控制系统常常产生自振荡。在非线性控制系统中,即使没有外加的输入信号,系统自身产生一个有一定频率和幅值的稳定振荡,称为自振荡(自持振荡)。自振荡是非线性控制系统的特有运动模式,它的振幅和频率由系统本身的特性所决定。3非线性控制系统的分析研究方法:目前分析非线性控制系统的常用方法之一描述函数法,是一种基于频率域的分析方法。这种方法主要用于研究非线性系统的稳定性和自振荡问题。如系统产生自振荡,如何求第八章 非线性控制系统64出其振荡的频率和幅值,以及寻求消除自振荡的方法等。非线性控制系统经过变换和归化可表示为图 8-1 所示的典型结构。其中函数)(XN称为该非线性元件的描述函数,)(jG为系统的线性环节。此描述函数)(XN是正弦输入信号幅值X的函数,这时线性系统中的频率法就可用来研8-1 非线性控制系统典型结构图究非线性系统的基本特性,而)(1XN称为描述函数的负倒特性。4用描述函数法分析非线性控制系统稳定性:仿效线性系统用奈氏判据来判定非线性系统的稳定性,不再是参考点)0,1(j,而是一条)(1XN的轨迹线。因此,对非线性系统进行稳定分析时,首先要在复平面上分别绘制出以频率为变量的)(jG幅相特性曲线和以幅值X为变量的)(1XN曲线,然后根据它们的相对位置来判定该系统的稳定性。(1)如果)(1XN的轨迹没有被)(jG曲线所包围,则非线性系统是稳定的。而且两曲线相距愈远,系统愈稳定。(2)如果)(1XN的轨迹被)(jG曲线所包围,则相应的非线性系统是不稳定的。(3)如果)(1XN的轨迹与)(jG曲线相交,则系统的输出有可能产生自持振荡。为简便判断交点处产生的自持振荡是否稳定,我们以)(jG曲线为界把复平面划分为稳定区和不稳定区。若)(1XN曲丝沿箭头方向由不稳定区经交点进入稳定区,则在该交点处产生的自持振荡是稳定的;若)(1XN曲线沿箭头方向由稳定区经交点进入不稳定区,该交点产生的自持振荡就是不稳定的。三典型例题分析:三典型例题分析:例例 8-18-1 非线性系统的)(jG及)(1XN的轨迹如图 8-2 所示,试判断该系统是否稳定。自动控制理论学习指导65ImRe0QP-1/NG(jw)-1X-1/N0)(jGImRe图8-2非线性系统框图图 8-3非线性系统框图解:解:因为由图可知,)(jG曲线包围了)(1XN曲线,所以不论幅值X如何变化,该非线性系统都是不稳定的。例例 8-28-2非线性系统的)(jG及)(1XN的轨迹如图 8-3 所示,试判断该系统有几个点存在自振荡。解:解:因为由图可知,在复平面上)(jG曲线与)(1XN相交,系统可能发生自持振荡。图中)(1XN曲线沿箭头方向由稳定区经交点P进入不稳定区,所以P点不存在自持振荡;而)(1XN曲线沿箭头方向从不稳定区经交点Q进入到稳定区,所以交点Q处存在自持振荡。例例 8-38-3 具有理想继电型非线性元件的非线性控制系统如图 8-4(a)所示,试确定系统自振荡的幅值和频率。第八章 非线性控制系统66)12.0)(11.0(15sss2-20-xyxyrc图8-4(a)非线性控制系统结构图解解:(1)在复平面上分别绘制)(1XN曲线和)(jG曲线。绘制)(1XN曲线:由理想继电型非线性特性可知XMXN4)(由图 8-4(a)的系统结构图知2M,则得负倒数描述函数:84)(1XMXXN当X从0变化时,0)(1XN,)(1XN曲线起始于坐标原点)0,0(,并随着幅值X的增大沿着复平面的复实轴向左移动,终止于,如图 8-4(b)所示。绘制)(jG曲线:由于)(jG与实轴相交:0)0004.005.01()02.01(15)(422jImG,解得:50,代入)(jReG求得:10004.005.015.4)(504250jReG图 8-4(b)(jG与)(1XN则)(jG曲线示于图 8-4(b)。(2)确定系统自振荡的幅值和频率:由图 8-4(b)可见:)0,1(j点为)(jG曲线与负实轴的交点,亦是)(1XN和)(jG的交点。因)(1XN穿出)(jG,故交点为自持振荡点。自振频率50,自振振幅由下列方程解出:自动控制理论学习指导671)(Re)(150jGXN,即18 X,55.28X 例例 8-48-4非线性系统的)(jG及)(1XN的轨迹如图 8-5 所示,(该非线性系统相对负倒数描述函数)(1XN曲线重合于实轴,为了清晰起见,画成了双线)。其中交点1M处的振幅为76.01X,交点2M处的振幅为83.12X,频率为200。试确定系统是否存在自持振荡,若有自持振荡,求出系统自持振荡的幅值和频率。解:解:)(1XN的 轨 迹 与)(jG曲线相交,则系统的输出有可能产生自持振荡。在交点1M处,)(1XN曲线沿箭头方向从稳定图 8-5非线性系统区进入了不稳定区,1M点产生的自持振荡就是不稳定的;而在交点2M处,)(1XN曲线沿箭头方向是由不稳定区进入到了稳定区,故在该交点处产生的自持振荡是稳定的;即2M点是自振荡点,所以系统自持振荡的幅值为83.12X,频率为200。四四.习题习题8-1如图 8-6 所示的非线性系统,非线性部分的描述函数为XMXN4)((M=1),线性部分的传递函数为2)15.0(4)(ssjG,试用描述函数法讨论:第八章 非线性控制系统68(1)该系统是否存在稳定的自持振荡点。(2)确定其自持振荡的幅值和频率。图 8-6非线性控制系统框图8-2 非线性系统如图 8-7 所示,(1)该系统是否存在稳定的自持振荡点。(2)确定其自持振荡的幅值和频率。图 8-7非线性控制系统框图8-3非线性系统)(jG及)(1XN的轨迹如图 8-8 所示,试判断该系统有几个点是稳定的自持振荡点。图 8-8非线性系统图
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