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第三章 一元一次方程,初中数学（人教版） 七年级 上册,知识点一等式的性质,解析(1)a-3=b+2由a-3变成a+1 b+2变成b+2+4=b+6 (2)3x=2x+5由2x+5变成5 3x变成3x-2x (3)x=5由x变成x 5变成52=10 (4)5m=2n由5m变成m 2n变成2n5=n,答案(1)b+6(2)2x(3)10(4)n 方法归纳先从不需要填空的一边入手,比较这一边是怎样变形的,再根据等式的性质,对另一边也进行同样的变形.,知识点二利用等式的性质解方程,分析利用等式的性质解方程,必须注意在加或减、乘或除以某个数时,方程两边要同时进行,否则会出现错误.,例2利用等式的性质解下列方程: (1)x+5=7;(2)-4x=20;(3)4x-4=8;(4)4x=8x-12.,解析(1)利用等式的性质1,两边都减去5得 x+5-5=7-5,即x=2. (2)利用等式的性质2,两边都除以-4得=,即x=-5. (3)利用等式的性质1,两边都加上4得 4x-4+4=8+4,即4x=12. 利用等式的性质2,两边都除以4得x=3. (4)利用等式的性质1,两边都减去8x得 4x-8x=8x-12-8x,即-4x=-12. 利用等式的性质2,两边都除以-4得x=3. 温馨提示综合应用等式的性质使复杂的一元一次方程转化为x=a(a是常数)的形式,这就是解方程的基本思想.,题型一判断等式变形是否正确 例1判断下列说法是否正确. (1)如果a=b,那么ac=bc; (2)如果ac=bc,那么a=b; (3)如果a=b,那么-2a+m=-2b+m; (4)如果a=b,那么a-n=b-n.,解析(1)从a=b变形为ac=bc,等式两边同时乘c,正确. (2)从ac=bc变形为a=b,等式两边要同时除以c,但当c=0时不能变形,a与b不一定相等,不正确. (3)从a=b变形为-2a+m=-2b+m要分两步,第一步是两边同时乘-2,第二步是两边同时加m,正确. (4)从a=b变形为a-n=b-n要分两步,第一步是两边同时乘,第二步是 两边同时减n,正确.,点拨判断等式的变形是否正确,关键是确定利用等式的哪个性质变形.当对等式两边加、减或乘同一个数(或式子)时,变形均正确;当对等式两边除以同一个数(或式子)时,要先判断这个数(或式子)是不是0,若确定该数(或式子)不为0,则该变形正确,否则错误.,题型二利用等式的性质对已知等式进行变形 例2利用等式的性质在横线上填上适当的数或式子,并说明变形的根据以及是怎样变形的. (1)如果2x-3=-5,则2x=,x=; (2)如果5x+2=2x-4,则3x=,x=; (3)如果x=2x-3,则-x=,x=.,分析首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的,确定变形的依据,再对等式的右边进行相应的变形,得出结论.,解析(1)-2;-1.根据等式的性质1,等式两边同时加3,得2x=-2;再根据等式的性质2,两边同时除以2,得x=-1. (2)-6;-2.根据等式的性质1,等式两边同时减(2x+2),得3x=-6;再根据等式的性质2,两边同时除以3,得x=-2. (3)-3;.根据等式的性质1,等式两边同时减2x,得-x=-3,再根据等式的性 质2,两边同时乘-,得x=.,点拨等式的变形先要联想到等式的性质,比较等号同一侧的变化特征,从而确定是应用了等式的哪条性质,然后利用这一性质变形.,易错点利用等式的性质2时,常常忽略除数不为0这一条件 例能不能由(a+3)x=b-1,得到x=?,错解能,根据等式的性质2,(a+3)x=b-1的两边同时除以(a+3)即可得到x=. 正解当a=-3时,由(a+3)x=b-1,不能得到x=;当a-3时,由(a+3)x=b- 1,能得到x=. 错因分析利用等式的性质2时,要注意等式的两边同时除以的数(或式子)不能为0.,知识点一等式的性质 1.下列等式变形错误的是() A.若x-1=3,则x=4 B.若x-1=x,则x-1=2x C.若x-3=y-3,则x-y=0 D.若3x+4=2x,则3x-2x=-4,答案BB选项,x-1=x,根据等式的性质2,两边都乘2,可得x-2=2x,故B 选项错误,故选B.,2.根据等式的性质,下列各式变形正确的是() A.由-x=y得x=2y B.由3x-2=2x+2得x=4 C.由2x-3=3x得x=3 D.由3x-5=7得3x=7-5,答案BA选项,等式两边同时乘-3,得x=-2y;C选项,等式两边同时减去2x,得x=-3;D选项,等式两边同时加5,得3x=7+5.,3.下列是等式-1=x的变形,其中根据等式的性质2变形的是() A.=x+1B.-x=1 C.+-1=xD.2x+1-3=3x,答案D根据等式的性质2,等式两边同时乘3,得2x+1-3=3x.,知识点二利用等式的性质解方程 4.在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的. (1)如果-=,那么x=,根据; (2)如果-2x=2y,那么x=,根据; (3)如果x=4,那么x=,根据; (4)如果x=3x+2,那么x-=2,根据.,答案(1)-2y;等式的性质2,两边都乘-10 (2)-y;等式的性质2,两边都除以-2 (3)6;等式的性质2,两边都乘 (4)3x;等式的性质1,两边都减去3x,5.利用等式的性质解方程. (1)4x-6=-10;(2)-5x=-15; (3)10 x=5x-3;(4)7x-6=8x.,解析(1)方程两边同时加上6,得4x-6+6=-10+6,即4x=-4.方程两边同时除以4,得x=-1. (2)方程两边同时除以-5,得x=3. (3)方程两边同时减去5x,得10 x-5x=-3,即5x=-3. 方程两边同时除以5,得x=-. (4)方程两边同时减去7x,得7x-6-7x=8x-7x, 合并,得-6=x,即x=-6.,1.下列变形不是根据等式的性质的是() A.= B.若-2a=x,则x+2a=0 C.若x-3=2-2x,则x+2x=2+3 D.若-x=1,则x=-2,答案A选项A的变形是根据分数的基本性质,分子、分母同乘10,不是根据等式的性质.,2.(2018湖北孝感八校联考)若a=b,则下列各式正确的是() A.a-9=b+9B.= C.3a=-3bD.-3a=-3b,答案D选项D依据的是等式的性质2,两边同时乘-3.,3.下列变形正确的是() A.如果ax=bx,那么a=b B.如果(a+1)x=a+1,那么x=1 C.如果x=y,那么x-5=5-y D.如果(a2+1)x=1,那么x=,答案DA中在等式两边同时除以x,但当x=0时不能直接变形,a与b不一定相等,不正确;B中在等式两边同时除以(a+1),但当(a+1)=0时不能直接变形,x不一定等于1,不正确;C中根据等式的性质不可能得到;D中在等式两边同时除以(a2+1),且a2+10,故成立.,4.把等式2x-y=10变形为-4x+2y=-20,其依据是() A.等式的性质1B.等式的性质2 C.分数的基本性质D.乘法分配律,答案B在等式2x-y=10的两边同时乘-2得,-4x+2y=-20,故依据是等式的性质2.故选B.,5.等式3x=2x+1的两边同时减去,得x=, 其依据是.,答案2x;1;等式的性质1,6.如果(a2+1)x=b,可得x=,这是根据,在等式两边同时.,答案;等式的性质2;除以(a2+1),解析因为a2+10,所以根据等式的性质2,等式两边同时除以(a2+1),得x=.,7.用适当的数或式子填空,使变形后仍是等式,并说明是根据哪一个性质得到的. (1)若3x+5=2,则3x=2-; (2)若-4x=,则x=.,解析(1)5.根据等式的性质1,方程两边都减5. (2)-.根据等式的性质2,方程两边都除以-4.,1.已知由-x=6可得x=-24,下列变形方法:方程两边同乘-;方程两 边同乘-4;方程两边同除以-;方程两边同除以-4.其中正确的有 () A.1个B.2个C.3个D.4个,答案B 因为1;(-4)=1,且6(-4)=-24; =1,且6=-24;(-4)1,所以正确,错误.,2.下列说法正确的是() A.等式ab=ac两边都除以a,可得b=c B.等式a=b两边都除以c2+1,可得= C.等式=两边都除以a,可得b=c D.等式2x=2a-b两边都除以2,可得x=a-b,答案B选项A中,a可能为0,不能直接变形,b与c不一定相等,故A不正确;选项C中,由=得b=c,两边应是同乘a,故C不正确;选项D中,两边都 除以2应是x=a-b,故D不正确.故选B.,3.如图3-1-2-1,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图3-1-2-1,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与个砝码C的质量相等. 图3-1-2-1,答案2,解析砝码A的质量=砝码B的质量+砝码C的质量, 砝码A的质量+砝码B的质量=砝码C的质量+砝码C的质量+砝码C的质量. 将代入,得砝码B的质量+砝码C的质量+砝码B的质量=砝码C的质量+砝码C的质量+砝码C的质量. 两边都减去砝码C的质量,得砝码B的质量+砝码B的质量=砝码C的质量+砝码C的质量. 所以砝码B的质量=砝码C的质量. 所以砝码A的质量=砝码C的质量+砝码C的质量,即1个砝码A的质量=2个砝码C的质量.,1.下列变形正确的是() A.若3x-1=2x+1,则x=0B.若ac=bc,则a=b C.若a=b,则=D.若=,则=,答案DA选项,两边同时减(2x-1),应该得到x=2,不正确;B、C选项没有说明c0,也是错的;D选项在等式两边同时乘a,正确.,2.将方程2(x-1)=3(x-1)的两边同除以(x-1),得2=3,其错误的原因是() A.方程本身是错的 B.方程无解 C.不能确定(x-1)的值是不是0 D.2(x-1)小于3(x-1),答案C方程两边不能同时除以(x-1),因为不能确定(x-1)的值是不是0.,3.某同学在做作业时发现:方程2-()x=-+2x不能求解了,因为()处的 数字在印刷时被污迹盖住了,经过翻看后面的答案,知道该方程的解为x=,该同学很快就知道了被污迹盖住的数字.你认为将该方程复原出来 应为.,答案2-5x=-+2x,解析设被污迹盖住的数字为a,则原方程变为2-ax=-+2x,把x=代入 方程,得2-a=-+1,解得a=5.所以将该方程复原出来为2-5x=-+2x.,4.已知x=5是关于x的方程3x-2a=7的解,则a的值为.,答案4,解析把x=5代入方程,得15-2a=7,根据等式的性质1,等式两边同时减去15,得15-2a-15=7-15,即-2a=-8,根据等式的性质2,等式两边同时除以-2,得a=4.,5.(1)如果mx=4m,那么x=4对吗?为什么? (2)如果x=4,那么mx=4m对吗?为什么?,解析(1)不正确,等式两边不能同时除以m,因为不能确保m一定不为0. (2)正确,根据等式的性质2,等式两边同时乘同一个数,结果仍相等.,6.下列方程的变形是否正确?为什么? (1)由3+x=5,得x=5+3; (2)由7x=-4,得x=-; (3)由y=0,得y=2; (4)由3=x-2,得x=-2-3.,7.利用等式的性质解下列方程: (1)3x+5=-13;(2)x-6=5; (3)3x+4=-13;(4)x-1=5.,一、选择题 1.(2018安徽东至庆丰中学月考,3,)下列变形错误的是() A.若x=y,则x+5=y+5B.若=,则x=y C.若-3x=-3y,则x=yD.若x=y,则=,答案DA.x=y,等式两边同加5,得x+5=y+5,正确; B.=,等式两边同乘a,得x=y,正确; C.-3x=-3y,等式两边同除以-3,得x=y,正确; D.没有说明m能否取0,错误.故选D.,2.(2018辽宁大连九中期末,2,)下列变形符合等式的性质的是 () A.如果2x-3=-7,那么2x=7-3 B.如果3x-2=x+1,那么3x-x=1-2 C.如果-2x=5,那么x=5+2 D.如果-x=1,那么x=-3,答案D将-x=1的两边同乘-3,得(-3)=(-3)1,即x=-3.,二、填空题 3.(2016湖南湘潭阶段检测,10,)由2x-1=0得到x=,可分两步,按步 骤完成下列填空: 第一步:根据等式的性质,等式两边,得到2x=1. 第二步:根据等式的性质,等式两边,得到x=.,答案1;同时加1;2;同时乘(或同时除以2),解析根据等式的性质即可得到答案.,1.(2018广东深圳百合外国语学校月考,1,)将方程x=中未知数 的系数化为1后,得出方程的解为() A.x=12B.x= C.x=3D.x=,答案D在方程两边同时乘4即可.,2.(2018安徽祁门古溪中学月考,3,)下列等式变形正确的是() A.如果x=y,那么x-2=y-2 B.如果-x=8,那么x=-4 C.如果mx=my,那么x=y D.如果|x|=|y|,那么x=y,答案AB选项,如果-x=8,那么x=-16,故此选项错误;C选项,如果mx= my,那么只有当m0时,x=y,故此选项错误;D选项,如果|x|=|y|,那么x=y,故此选项错误.故选A.,3.(2017云南师大附中期末,7,)下列等式变形错误的是() A.如果x+7=26,那么x+5=24 B.如果3x+2y=2x-y,那么3x+3y=2x C.如果2a=5b,那么2ac=5bc D.如果3x=4y,那么=,答案DD选项,如果3x=4y,那么只有当a0时,=才成立,故此选 项错误,故选D.,4.(2017湖北沙市中学月考,5,)下列运用等式的性质进行的变形中,不正确的是() A.如果a=b,那么a-c=b-c B.如果a=b,那么a+c=b+c C.如果a=b,那么= D.如果a=b,那么ac=bc,答案C如果a=b,那么只有当c0时,=才成立,故选C.,选择题 1.(2017浙江杭州中考,5,)设x,y,c是有理数,下列说法正确的是 () A.若x=y,则x+c=y-c B.若x=y,则xc=yc C.若x=y,则= D.若=,则2x=3y,答案B当c0时,A不成立;无论c取何值,B都成立;当c=0时,C不成立;若=,则3x=2y,故D不成立.故选B.,2.(2016海南中考,2,)若代数式 x+2 的值为1,则x等于() A.1B.-1C.3D.-3,答案B由题意得x+2=1,利用等式的性质1,方程两边同时减去2,得x=1-2,即x=-1.,3.(2013山东滨州中考改编,3,)把方程x=1变形为x=2,其依据是 () A.等式的性质1B.等式的性质2 C.分式的基本性质D.不等式的性质1,答案B在等式x=1的两边同乘2,得x=2,故依据是等式的性质2.,1.(2016广东中考,9,)已知方程x-2y+3=8,则整式x-2y的值为() A.5B.10C.12D.15,答案A把x-2y看成一个整体,根据等式的性质1,等式两边同时减去3,得x-2y=5.,2.(2015湖北咸宁中考,2,)方程2x-1=3的解是() A.-1B.-2C.1D.2,答案D根据等式的性质1,方程两边都加1,得2x-1+1=3+1,即2x=4,再根据等式的性质2,方程两边同时除以2,得x=2,故选D.,3.(2014四川眉山中考,3,)方程3x-1=2的解是() A.x=1B.x=-1C.x=-D.x=,答案A方程两边同时加1,得3x=3.方程两边同时除以3,得x=1,故选A.,4.(2014浙江湖州中考,11,)方程2x-1=0的解是x=.,答案,解析因为2x-1=0,所以2x=1,所以x=.,1.已知2x2-3=5,你能求出x2 +3的值吗?说明理由.,解析能.由2x2-3=5,得2x2=5+3,x2=4,所以x2+3=4+3=7.,2.a、b、c三个物体的质量关系如图3-1-2-2所示: 图3-1-2-2 回答下列问题: (1)a、b、c三个物体就单个而言哪个最重? (2)若天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c?,解析(1)根据题图知2a=3b,2b=3c, 则a=b,b=c,进而有a=c, 因为ccc,所以abc, 所以a、b、c三个物体就单个而言,a最重. (2)由(1)知a=c,即4a=9c, 所以若天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,则天平两边至少应该分别放4个物体a和9个物体c.,1.规定“*”为一种新运算,对任意有理数a、b,有a*b=a+2b,若6*x=12,试用等式的性质求x的值.,解析由6*x=12,得6+2x=12,根据等式的性质1,等式两边同时减去6,得6+2x-6=12-6,即2x=6,根据等式的性质2,等式两边同时除以2,得x=3.,3.已知3b-2a-1=3a-2b,请你利用等式的性质比较a与b的大小.,解析等式两边同时加上2a+1,得3b=5a-2b+1,两边同时加上2b,得5b=5a+1,两边同时除以5,得b=a+,所以ba.,
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