第3章 刚体力学

第三章 刚体力学3.0 引1. 从定轴转动的转动动能说起：先看怎样求定轴转动的转动动能：对于刚体内任一点，其动能为其中为各点到转轴的距离(注意,这里不是代表各点的位矢的大小)。对于整个刚体，其动能为其中，称为转动惯量。2. 与平动对比：将刚才所求的转动动能公式与平动动能公式对比：可见只要将换成，二者形式完全一样。受此启发，做理论系统的对比： 牛顿定律 转动定理于是我们认识到： “平动质量”=“平动惯量”； “转动惯量”=“转动质量”。 “力矩”=“转动力”。 “角速度”=“转动速度”。 “角动量”=“转动动量”。 “转动定理”=“转动的牛顿定律”。动量定理的微分形式: 角动量定理的微分形式: 动量定理的积分形式: 角动量定理的积分形式: 动能定理的微分形式: 转动动能定理的微分形式:动能定理的积分形式: 转动动能定理的积分形式:3.1 刚体运动的分析1、刚体定义：刚体是一类特别的质点系，其中任何两个质点间的距离，恒定不变（哪怕受到力的作用）。2. 描述刚体位置的独立变量：独立变量又称为自由度。确定一个质点在空间的位置，需3个独立变量。如；或。确定个质点组成的刚体在空间的位置，似乎需个独立变量。其实不然，因为刚体定义为其内任何两个质点的距离恒定不变，因此每两个质点间有一个约束（可设想为一根不计质量的刚杆）。不妨设想个质点组成一空间桁架：先用3根刚杆环连3个质点。以后每增加1个质点需3根刚杆，故所需刚杆总数为。再由“自由度=-独立约束数”得：。还可以把一般的刚体的机械运动看作是平动与转动的组合：在刚体中选取一点，然后通过点选取任一直线作为转动轴（转动轴的长度并不是我们要考虑的，极短都行）。于是要确定点的位置，需要3个独立变量（即坐标）；要确定轴在空间的取向，又需要2个变量（即轴线的方向余弦，注意虽存在3个方向余弦，但3者是不互相独立的，因为它们的平方和等于1。所以只有选其中2个方向余弦才是独立的）；要确定刚体绕轴转了的角度，又需要一个变量。所以总共需要6个独立变量。3. 描述刚体的常用坐标系：刚体上的固着坐标系-即坐标轴画在刚体上，这是一种特殊的动坐标系。4. 刚体运动分类：上面已说，对于一般的刚体运动需要6个独立变量，但在某些条件限制下（也即存在约束，或说已知一些独立变量取了定值时），刚体运动可以少于6个独立变量，分类如下：平动 （自由度：3）定轴转动 （自由度：1）平面运动（平面平行运动） （自由度：3）定点转动 （自由度：3）一般运动：平动+定点转动 （自由度：6）3.2 角速度矢量1. 刚体的角位移：记为，其模，其方向在转动轴上遵守右手螺旋法则。有限角位移不遵守平行四边形加法的交换律，所以不属于矢量。无穷小角位移才是矢量。线位移与角位移的关系：2. 刚体的角速度矢量：定点转动的转动轴的空间取向随时间而变，其在每一时刻被称为该时刻的转动瞬轴。角速度矢量其方向就沿着该时刻的转动瞬轴，其大小则为。线速度与角速度的关系：3.3 欧拉角1欧拉角2欧拉运动学方程刚体定点转动可看作是由自转、章动和进动三个独立转动的合成，因此刚体定点转动的角速度可以表为自转角速度、章动角速度和进动角速度的合成：刚体定点转动的角速度在静止坐标系中的表示：刚体定点转动的角速度在固着坐标系中的表示： 此两组方程即刚体定点转动的欧拉运动学方程。3.4 刚体运动方程与平衡方程1. 力系的简化：1.1 两个等价的原理:平衡力不改变刚体运动状态的原理实践证明：刚体上施以一平衡力（等值反向且作用在同一直线上），刚体的运动状态不变。 力的可传性原理实践证明：力可沿它的作用线向前或向后移动，而刚体运动状态不因力沿力的作用线前后移动而变,亦即作用在刚体上的力产生的力学效果，仅由力的量值与作用线的地位与方向决定，而与力的作用点无关。这一结论叫力的可传性原理. 注：一般而言，力对物体的作用效果取决于三要素：大小、方向、作用点。称为力的三要素。但根据所讨论的对象的不同，这些要素有所变动。如对质点而言，其受力是不必谈论作用点的自由矢量；但对刚体而言，所受的力是作用点有所限制（即把作用点改成作用线）的滑移矢量；而对变形体而言，就是必须讲究作用点的定位矢量。2.2 力系的简化:依据上述两条原理可以进行力系的简化。(1).共点力系的简化：采用平行四边形法则，简化为一个合力。(2).共面非平行力的简化：利用力的可传性原理，将两力沿力的作用线滑移汇集于一点，再用平行四边形法则简化为一合力（见图3.4.1）(3).平行力的简化：（这时不能直接应用平行四边形法则）其合力的值及方向就是按分力的指向求代数和且合力的方位平行于各分力。其作用点求法之一就是按如图3.4.2规则简化为一力矩 ，由此确定力的作用点。力偶：等值反向的一对平行力（不在同一直线上）。力偶臂：力偶的两个力之间的垂直距离。力偶矩：其大小是力偶臂与力偶中的其中任意一个力的大小的乘积，其方向符合右手螺旋法则。即。力偶矩的特性：其合力的大小为0，但对任一点的合力矩不为0；力偶矩是自由矢量，故可看成作用于力偶面上的任一点。（注：前面我们指出，作用于刚体的力矢量是滑移矢量，但并不是说作用于刚体的一切矢量都是滑移矢量，如力偶矩就不是滑移矢量）PAPA(4).空间力系的简化：简化原理为：即： 点上的力 点上的力 及 点上的由和组成的力偶矩简化步骤为:确定力的简化中心，将力依次平移至力的作用点，然后按平行四边形矢量合成,即（称为主矢）。在简化中心处依次画出力 相应的力偶矩 ，再由矢量合成平行四边形法则，得到合力偶矩，即（称为主矩）。这样就将力系简化为一主矩和主矢。（通常取质心为简化中心）例：如图3.4.3,将力系与简化为主矢和主矩。简化步骤：选取O为简化中心，则，平移至O，再将， 合成得主矢 在O点作的力矩，作的力矩 再将 ，合成，得到主矩。总之，作用于刚体上的任意力系均可简化为一主矢和主矩。2. 刚体运动微分方程刚体是距离不变的质点组，由刚体的质心运动定理,有 （1）同样，由相对质心的角动量（动量矩）定理，有 （2）（1）、（2）两式即为刚体运动的基本方程。此外，还有刚体运动的动能定理（刚体中各点之间距离不变，内力作功为零）:刚体动能的微分等于各外力所作元功之和，即 （3）若为保守力系，则能得能量积分：3. 刚体平衡方程刚体的平衡条件是所受的主矢和主矩同时为零，即若主矢，而主矩，则刚体有转动；若主矢，而主矩，则刚体有平动。应用刚体的平衡条件解题，一般步骤为：1 画草图，分析受力，选取坐标系；2、 写出的分量形式；3、 选取力矩的参考点，对该点取矩，写出分量形式；4、 解方程组，求出平衡条件。3.5 转动惯量（1）刚体的动量矩(即角动量)设刚体在某一时刻以角速度作定点转动。取刚体中任一质点，其质量为，速度为，定点到质点的位矢为。求刚体动量矩（角动量）的矢量表达式:质点对定点的动量矩（角动量）为：；整个刚体对定点的动量矩（角动量）为：。 （3.5.1）因为，所以即 （3.5.2）（根据二重外积公式得）求刚体动量矩（角动量）分量表达式(并引出转动惯量张量概念):(3.5.2)式：令 （3.5.5） （3.5.6）、分别称为绕轴、轴、轴的轴转动惯量；、等称为惯量积。于是 （3.5.7a）上式还可写成矩阵形式 （3.5.7b）若令（注意是黑体字）称为转动惯量矩阵或转动惯量张量，它是一个实对称矩阵,则(3.5.7)式可写成 （3.5.7c）转动惯量矩阵（转动惯量张量）的每个元素（轴转动惯量及惯量积）称为转动惯量张量的组元，也叫惯量系数。(3.5.7a)、(3.5.7b)、(3.5.7c)式就是刚体定点转动时的角动量的三种形式。（2）刚体的转动动能现在求刚体对定点的转动动能。将（3.5.7）式代入上式得 (3.5.8)（3）转动惯量刚体的转动动能也可写为 (3.5.9)式中为的位矢与角速度矢量的夹角，为到转动瞬轴的垂直距离，（注意这里不是黑体字）称为刚体绕转动瞬轴的转动惯量。回转半径：设刚体绕轴S的转动惯量为I，若有一质点的质量等于刚体的质量m，它到轴的距离K满足:，则就称为该刚体绕轴S的回转半径。由定义,有 。计算转动惯量及回转半径的步骤：一般步骤是：选取坐标系和质量元由公式和求出以及刚体的总质量由求出计算的关键是确定和 平行轴定理： （其证明在普通物理-力学中已讲过）（4）惯量张量和惯量椭球对质量均匀分布（或按一定规律分布），且形状规则的刚体，可把（3.5.5）和（3.5.6）两式改写为定积分形式（一般是重积分），即 （3.5.13）及 （3.5.14）以上是对三个特殊的轴(也是基本的轴)、的转动惯量和惯量积，而对于任一方向为的转动瞬轴的转动惯量，则是 （3.5.15a）（注意这里不是黑体字，它是标量。它与(3.5.9)式中定义的，即，是一致的）其中，是任一转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦。该式的证明只要将（3.5.8）和（3.5.9）联立并考虑方向余弦概念，即可。上式写成矩阵形式即 （3.5.15b）因惯量系数都是点坐标的函数，故若取用静止坐标系，那么刚体定点转动时，惯量系数也随之而变。若选固连的动坐标系，则在固连坐标中惯量系数都将是常数。（换言之，一般说来，转动惯量矩阵中的各个元素是时间的函数，但若取固连坐标系，则它们将是与时间无关的常量）惯量椭球：定点转动时，在转动瞬轴选一点，使（其中为刚体绕该转动瞬轴的转动惯量），则点的坐标为点的轨迹呈一椭球，称为惯量椭球。惯量椭球方程为（5）惯量主轴及其求法惯量主轴：即惯量椭球的主轴。主转动惯量：对惯量主轴的转动惯量。若以惯量主轴为坐标系，则惯量椭球方程简化为（标准形式）其中为主转动惯量。与此相应，此时刚体角动量和转动动能分别简化为【注】：从线性代数知道，进行适当的坐标变换，在这里也就是适当转动坐标系，可以使实对称矩阵化为对角矩阵。这在线性代数另一个角度看就是求本征值问题，在解析几何里就是求二次曲面主轴的问题。对角化后的转动惯量张量写为3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动（1）平动平动：刚体运动时，刚体中任一直线始终彼此平行。平动的性质： 平动时，刚体内各点都有相同的速度和加速度； 自由度为3（2）定轴转动1、刚体定轴转动的特点：（1）刚体中任一点都在垂直于转轴的平面内作圆周运动；（2）各点的角位移，角速度，角加速度均相同，且方向都在转轴上；（3）自由度为1，用角位移能描述刚体的运动状态。2、刚体定轴转动的运动学：刚体中任一点的线速度: (标量形式为:刚体中任一点的线加速度:3、刚体定轴转动的动力学：动量矩定理： （因为令为常量）刚体定轴转动的动力学方程：刚体定轴转动的动能： （当外力为保守力时）3.7 刚体的平面平行运动（1）平面平行运动运动学刚体平面平行运动是指刚体运动时，任一点始终在平行于某一固定平面内作运动，因此，只须研究任一和固定平面平行的平面运动就行，也就是说，可用一薄片来表示刚体的运动。刚体平面平行运动的处理方法：刚体平面平行运动可视为在刚体上取一点（称为基点，而且常取质心）的平动和绕基点的转动这两种运动的合成。如图3.7.1，选取固定坐标系和动系，其中动系固定在刚体平面上并随刚体一起运动，原点为基点，刚体绕过点，且垂直于平面的轴转动（与定轴转动不同，此处转轴不固定，称为瞬时轴），刚体中任一点在系位置矢量为 ，在动系中位置矢量为，基点对定系的位矢为 ，满足 （1）设刚体绕瞬时轴的转动角速度为（方向垂直于纸面向外），则点的速度 （2）点的加速度 （3）（2）式表明：点的速度等于基点的速度与绕基点的速度的矢量和。（3）式的等式右边第一项为基点加速度，第二项为因转动角速度变化引起的加速度，称为相对切向加速度，第三项叫相对向心加速度。（3）式表明：刚体中任一点的加速度为基点的加速度、相对切向加速度、相对向心加速度的矢量和。（2）转动瞬心1. 转动瞬心的定义和性质刚体平面平行运动时，任一时刻刚体薄片上或其延伸平面上速度为零的点叫转动瞬心，也称为极点，记为。转动瞬心的性质是：瞬心是唯一的，不同时刻有不同的瞬心；瞬心的速度为零，但它加速度并不为零.否则刚体为定轴转动.瞬心可以在刚体上、也可以在刚体外。对瞬心而言，刚体上任一点的速度都垂直于瞬心与该点的连线。2. 瞬心的确定方法一：观察法：凡滚而不滑的刚体与另一物体的接触点就是瞬心。例如：车轮沿地面滚而不滑的沿直线运动，接触点就是瞬心C，轮子运动时，接触点C在地面上留下的轨迹叫定瞬心曲线（或叫空间极迹），而在运动物体（轮子）上留下的轨迹叫动瞬心曲线（或叫本体极迹）（见图3.7.2）。方法二：作图法：已知刚体中两点A、B的速度VA,VB，则分别自A、B点作垂直于VA,VB 的直线，其交点C即瞬心(如图3.7.3)。方法三：数学方法：已知和基点的位置,则可解方程式书P197的（3.7.6）式求出瞬心在定系中的坐标，或解方程书P197的3.7.7式求出瞬心在动系中坐标：， 3. 瞬心法求解刚体平面平行运动运动学的一般步骤。一般步骤：求出（或确定）瞬心C；确定角速度；由公式（2）、（3）求出任一点的速度和加速度。例1 半径为R的圆轮沿直线滚而不滑的运动，轮心的速度为 （常量）(见图3.7.4)。求：（1）瞬心曲线；（2）角速度；（3）轮心和接触点的加速度；（4）轮上任一点的速度、加速度。解：（1）接触点速度为零，故为瞬心，显然，运动时，定瞬心曲线为直线，方程为：yC=0。动瞬心曲线为圆周，方程为rC=R；（2）由v0=AC，且AC，v0=AC，= v0/AC= v0/R=常量（方向垂直纸面向内）（3）取轮心A为基点，由，轮心加速度，又=常量，所以,接触点的加速度,大小为，方向为指向圆心。（4）轮缘上任一点P的速度VP和加速度aP， （方向如图） （方向如图）将代入得，大小为，方向由点指向点。（3）平面平行运动动力学在运动学中，基点是可以任意选取的。但在动力学中，通常都取质心作为基点，以便利用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理来写出平面平行运动的动力学方程。也就是说，在平面平行运动动力学中，我们把刚体的运动分解为质心的纯平动和刚体相对于质心的定轴纯转动。1. 刚体平面平行运动方程：设一静坐标系和一以刚体质心为原点、坐标轴始终平行静止坐标轴的动坐标系，又设刚体所受总外力（包括约束反力）为，于是有以下刚体平面平行运动方程质心运动方程： ； （3.7.8）刚体绕质心转动的运动方程： （3.7.9） 约束方程：（视具体平面而定）。【注】：如果没有，就属于自由刚体，而不是平面平行运动刚体。此外，如果仅有和，由于外力及中包含约束反力，而约束反力是未知的，这样未知量就多于三个，这样仅由和中的三个方程无法求解（刚体作平面平行运动时，是三个独立变量的问题），因此，需要加入约束方程。2. 刚体平面平行运动时的动能及机械能守恒律：对于上述所选的动静坐标系，正好可以应用柯尼希定理，将这时刚体的动能表为两部分：一为质心运动动能，另一为刚体绕质心转动的动能：此外，如果作用在刚体上的外力只有其中的保守力作功，则有机械能守恒式： （3.7.10）【注】：也可以用（3.7.10）式代替（3.7.8）和（3.7.9）三式中的任何一式来给出并求解运动方程。3. 刚体平面平行运动动力学问题的解答步骤：已知条件为：作用于刚体的力和初始情况。求：刚体的运动规律。方法一：解微分方程的方法。步骤：建立坐标系，分析力；列方程：包括质心运动定理、动量矩定理、约束方程；解微分方程；讨论结果。方法二：利用机械能守恒定律（只适用于保守力）步骤：建立坐标系；计算动能T和势能V；由能量守恒和约束条件求出运动规律。例见书P202。圆柱体半径 、质量m，滚而不滑地下滚（见图3.7.5）。求质心的速度、约束反力N、摩擦力f。方法一：用机械能守恒求。刚体的动能为： （k为回转半径）势能为：（取静止时的位置为零势能的位置） 约束方程为： （滚而不滑条件）由以上三式求得质心加速度为：（用此方法求不出N和f）方法二：解微分方程的方法由质心运动定理： (1) 和对质心的角动量定理： （2）其中：,以及约束方程： （3）将（1）投影于x，y方向，解（1）、（2）、（3）求出， （附注：分别将圆柱体、球体、球壳、圆盘等的回转半径的值代入上述结果，就可以得到相同质量、相同半径的这几种刚体的相应值，请读者自己具体计算并从中总结出一些规律。）3.8 刚体绕固定点的转动（1）定点转动运动学1）. 定点转动特征：转动轴通过一个定点，轴的取向随时间而变；需两个独立变量描述转动轴的取向（也即角速度矢量的取向），还一个独立变量描述刚体绕转动轴的运动，所以定点转动是三个独立变量的问题。2）. 常用三个欧勒角来描述：即用（章动角）、（进动角）、（自转角）来确定刚体的位置。至于角速度分量、则可用三个欧勒角对时间的导数来表出，即前面已讲的（3.3.3）式：这就是欧勒运动学方程。3）. 转动瞬轴及其空间极面、本体极面：把某一瞬时角速度的取向，也即在该瞬时的转动轴叫做转动瞬轴；类似于转动瞬心，转动瞬轴在空间（即相对于静坐标系）和在刚体内（即相对于固连在刚体上的动坐标系）各描绘出一个顶点在的锥面，前者称为空间极面，后者称为本体极面。4）. 定点转动的运动学公式：设刚体定点转动，则.刚体内任一点的线速度：.刚体内任一点的线加速度：5）. 一般空间自由运动的运动学公式：对于刚体一般的空间自由运动，就不存在定点。这时可以将其看作是基点平动加上绕基点的定点转动。.刚体内任一点的线速度：.刚体内任一点的线加速度：（2）定点转动动力学 （欧勒动力学方程）定点转动运动方程即质点组的动量矩定理（即（2.3.4）式） （A）动量矩表达式已在3.5中求出，其求法是：对于固连动系：.先作动坐标系固连于刚体上，从而使惯量系数（即惯量和惯量积）成为常数）；.再选惯量主轴为动坐标轴，则动量矩就简化为对于一般静系： （3.8.6）于是（A）式成为即此即刚体绕定点转动的动力学方程，也称欧勒动力学方程。（3）机械能守恒律如果作用在刚体上的外力只有保守力作功，那么即