考点3 三角问题

2013年高考数学辅导材料-三角函数一 专题综述该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用该部分在试卷中一般是23个选择题或者填空题，一个解答题，选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点(如三角函数性质、平面向量的数量积等)，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性.二 考纲解读 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(，的正弦、余弦、正切)，能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tanx.结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义；能借助计算器或计算机画出yAsin(x)的图象，观察参数A，对函数图象变化的影响3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型4.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）5.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系三.2013年高考命题趋向1.在选择题或者填空题部分命制23个试题，考查三角函数的图象和性质、通过简单的三角恒等变换求值、解三角形等该专题的重点知识中的23个方面试题仍然是突出重点和重视基础，难度不会太大2.在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题，考查综合运用该部分知识分析解决问题的能力，试题的可能考查方向如我们上面的分析从难度上讲，如果是单纯的考查三角函数图象与性质、解三角形、在三角形中考查三角函数问题，则试题难度不会大，但如果考查解三角形的实际应用，则题目的难度可能会大一点，但也就是中等难度 由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点： (1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系 (2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题 (3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用四高频考点解读考点一 三角函数的定义例1 2011课标全国卷 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos2()例2 2011江西卷 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin，则y_.考点二 三角恒等变换例3（2012年高考重庆）（）ABCD（2012年高考（陕西文）设向量=(1.)与=(-1, 2)垂直,则等于 A B C0D-1（2012高考真题重庆）设是方程的两个根，则的值为 （ ） （A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3【2012高考真题山东】若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【2012高考真题辽宁】已知，(0，)，则=(A) 1 (B) (C) (D) 1【2012高考真题江西】若tan+ =4,则sin2= A B. C. D. 【2012高考真题湖南】函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为 A -2 ,2 B.-, C.-1,1 D.- , 【2012高考真题全国卷】已知为第二象限角，则cos2=(A) （B） (C) (D)（2012年高考江西）若,则tan2=（）A-BC-D（2012年高考大纲）已知为第二象限角,则（）ABCD（2012年高考大纲）当函数取最大值时,_.【2012高考江苏】设为锐角，若，则的值为 2011福建卷 若tan3，则的值等于()A2 B3 C4 D6 例42011浙江卷 若0，0，cos，cos，则cos()A. B C. D例5 2011广东卷 已知函数f(x)2sin，xR.(1)求f的值；(2)设，f，f(32)，求cos()的值.【解题技巧点睛】三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切.(3)公式变形使用：如(4)三角函数次数的降升：降幂公式有，与升幂公式有，.(5)式子结构的转化：对角、函数名、式子结构化同.(6)常值变换主要指“1”的变换：等.（7）辅助角公式：(其中角所在的象限由的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作,这里只要掌握辅助角为特殊角的情况即可.实际上是两角和与差的三角函数公式的逆用.如等.考点三 三角函数的性质例6【2012高考真题新课标】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ） （2012年高考大纲）若函数是偶函数,则（）ABCD2012年高考大纲）若函数是偶函数,则（）ABCD（2012年高考新课标理）已知,函数在上单调递减.则的取值范围是（）ABCD（2012年高考（湖南理）函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为（） A -2 ,2 B-, C-1,1 D- , 2011课标全国卷 设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则()Af(x)在单调递减 Bf(x)在单调递减Cf(x)在单调递增 Df(x)在单调递增2011安徽卷 设f(x)asin2xbcos2x，其中a，bR，ab0.若f(x)对一切xR恒成立，则f0；0，0，0)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2，0)。若PRQ，则yf(x) 的最大值及的值分别是 A.2,B.,C., D. 2,10.【2012年西安市高三年级第一次质检】设，则函数的A.图像关于直线对称 B.图像关于直线对称C.图像关于直线对称 D.图像关于直线对称11.【山东省日照市2012届高三12月月考】函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（A）向右平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向左平移个长度单位12.【2012厦门期末质检】已知函数f(x)sin(x)(0)，将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原函数图象重合最小值等于 A. B.3 C.6 D.913.【2012粤西北九校联考】如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出AC的距离为50m，ACB = 45，CAB = 105后，就可以计算出A、B两点的距离为( )A. B. C. D. 14.【2012宁德质检】已知的面积为，则的周长等于（ ）A B C DBAC15.【2012韶关第一次调研】为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，就可以计算出两点的距离为( )A B B C D. 16.【2012海南嘉积中学期末】的内角满足条件：且，则角的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、17.【2012浙江瑞安期末质检】设，则的值为（ ）A B C D 18.【2012 浙江瑞安期末质检理】函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则= .19.【2012泉州四校二次联考】设，其中. 若对一切恒成立，则 ； ； 既不是奇函数也不是偶函数； 的单调递增区间是； 存在经过点的直线与函数的图象不相交以上结论正确的是_（写出所有正确结论的编号）20.【2012延吉市质检】在中，若则角B的大小为 （ ）A30 B45 C135 D45或13521.【2012山东青岛市期末】已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为的等边三角形，则的值为A B C D22.【2012延吉市质检】已知,的最小值为,则正数 23.【2012唐山市高三上学期期末统一考试】在中，边上的高为则AC+BC= 。24.【2012年石家庄市高中毕业班教学质检】某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量AD=BD=14，BC=10,AC=16,C=D(I)求AB的长度；()若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由25.【2012江西师大附中高三下学期开学考卷】已知向量,，.(1)若，求的值；(2)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围. 26.【2012黄冈市高三上学期期末考试】已知函数为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为。（1）求的解析式；（2）若，求的值。27.【2012武昌区高三年级元月调研文】设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，E为边AB的中点。（I）求的周长；（II）求的内切圆的半径与的面积ACB28.【2012吉林市期末质检】在某海岸A处，发现北偏东方向，距离A处n mile的B处有一艘走私船在A处北偏西的方向，距离A处n mile的C处的缉私船奉命以n mile/h的速度追截走私船. 此时，走私船正以5 n mile/h的速度从B处按照北偏东方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船，并指出缉私船航行方向. 29.【2012江西南昌市调研】已知向量=sin2C，其中A,B,C分别为ABC的三边a,b,c所对的角.（1）求角C的大小；（2）已知A=75，c=（cm），求ABC的面积30.（2012年高考福建）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1)，(2) (3)，(4) (5)。 试从上述五个式子中选择一个,求出这个 常数 根据()的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.31.（2012年高考四川）函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.()求的值及函数的值域;()若,且,求的值.32.（2012年高考山东）已知向量,函数的最大值为6.()求;()将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域. 33.（2012年高考湖北）已知向量,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且. ()求函数的最小正周期; ()若的图象经过点,求函数在区间 上的取值范围.34.（2012年高考广东）(三角函数)已知函数(其中)的最小正周期为.()求的值;()设、,求的值.35.（2012年高考北京）已知函数.(1)求的定义域及最小正周期;(2)求的单调递增区间. 36.（2012年高考安徽）设函数.(I)求函数的最小正周期;(II)设函数对任意,有,且当时, ,求函数在上的解析式.19