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宜昌市第一中学2017年春季学期高二年级期末考试文科数学试题全卷满分150分 考试用时120分钟 命题人：钟卫华 审题人： 肖华一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则 （ ） A B C D 2已知是虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ） A B C D 3函数定义在上.则“曲线过原点”是“为奇函数”的（ ）条件.A充分而不必要 B必要而不充分 C充要 D 既不充分又不必要4命题的否定是（ ）ABCD5函数，在定义域内任取一点，使的概率是（）.ABCD 6宜昌一中为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则有多大的把握认为“学生性别与支持该活动”有关系（ ）A0.1%B1% C99%D99.9%附：01000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.8287设函数，则下列结论正确的是（ ）A函数在上单调递增 B函数在上单调递减 C函数在上单调递增 D函数在上单调递减8已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）A B C 3 D9执行如图所示的程序，若输出的S=，则输入的正整数n=（ ）A2 018 B2 017 C2 016 D 2 01510已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，为切点，若直线经过抛物线的焦点，的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（ ）AB CD 11在2016宜昌马拉松10公里健康跑比赛中，张老师用手表记录了各公里的完成时间、平均心率及步数： 在这10公里的比赛过程，请依据上述数据，判断正确的一组序号是（ ）（1）由每公里的平均心率得知张老师最高心率为188；（2）张老师此次路跑，每步距离的平均小于1米；（3）每公里完成时间和每公里平均心率的相关系数为正；（4）每公里步数和每公里平均心率的相关系数为正；（5）每公里完成时间和每公里步数的相关系数为负A（1）（2）（4） B（2）（3）（4） C（1）（2）（5） D （2）（4）（5）12 若函数在单调递增,则的取值范围是（ ）A B C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13已知、取值如下表:0145681.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知:与线性相关,且,则 14从圆外一点向这个圆作切线，切点为，则切线段 15已知若，则 16已知函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为(，为参数)，曲线的极坐标方程为.()求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；()设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值.18（本小题满分12分）已知函数.（）求不等式的解集；（）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆N的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；20.（本小题满分12分）在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“”表示答对，“”表示答错）：学生编号 题号 1234512345678910（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号12345实测答对人数实测难度（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理判断本次测试的难度预估是否合理.21. (本小题满分12分) 已知点关于直线的对称点是P，焦点在x轴上的椭圆经过点P，且离心率为（）求椭圆的方程；（）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B探求直线AB是否过定点，如果经过请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由22.（本小题满分12分）已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）证明；（3）若方程有两个正实数根，求证：.宜昌市第一中学2017年春季高二年级期末考试数学(文科)试题 命题人：钟卫华 审题人： 肖华试卷满分： 150分 考试用时： 120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则 （ ） B A B C D 2已知是虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ） CA B C D 3函数定义在上.则“曲线过原点”是“为奇函数”的（ ）条件.BA充分而不必要 B必要而不充分 C充要 D 既不充分又不必要4命题的否定是（ ）DABCD5函数，在定义域内任取一点，使的概率是（）.AABCD 6宜昌一中为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则有多大的把握认为“学生性别与支持该活动”有关系（ ）CA0.1%B1% C99%D99.9%附：01000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.8287设函数，则下列结论正确的是（ ）DA函数在上单调递增 B函数在上单调递减 C函数在上单调递增 D函数在上单调递减8已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）CA B C 3 D9执行如图所示的程序，若输出的S=，则输入的正整数n=（ ）BA2 018 B2 017 C2 016 D 2 01510已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，为切点，若直线经过抛物线的焦点，的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（ ）DAB CD 11在2016宜昌马拉松10公里健康跑比赛中，张老师用手表记录了各公里的完成时间、平均心率及步数： 在这10公里的比赛过程，请依据上述数据，判断正确的一组序号是（ ）D（1）由每公里的平均心率得知张老师最高心率为188；（2）张老师此次路跑，每步距离的平均小于1米；（3）每公里完成时间和每公里平均心率的相关系数为正；（4）每公里步数和每公里平均心率的相关系数为正；（5）每公里完成时间和每公里步数的相关系数为负A（1）（2）（4） B（2）（3）（4） C（1）（2）（5） D （2）（4）（5）12 若函数在单调递增,则的取值范围是（ ）AA B C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13已知、取值如下表:0145681.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知:与线性相关,且,则 1.4514从圆外一点向这个圆作切线，切点为，则切线段 215已知若，则 16已知函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为(，为参数)，曲线的极坐标方程为.()求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；()设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值.【解析】(1)由消去参数，得曲线的普通方程为由得，曲线的直角坐标方程为 4分(2)设，则点到曲线的距离为当时，有最小值，所以的最小值为.10分18（本小题满分12分）已知函数.（）求不等式的解集；（）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（）不等式，即，可化为或或解得，解得，解得，综合得，即原不等式的解集为 6分（）因为，当且仅当时，等号成立，即，又关于的不等式恒成立，则，解得，即实数的取值范围为.12分19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆N的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；【解析】圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5，（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为. 6分(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离 因为 而 所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. 12分20.（本小题满分12分）在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“”表示答对，“”表示答错）：学生编号 题号 1234512345678910（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号12345实测答对人数实测难度（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理判断本次测试的难度预估是否合理.【解析】（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号12345实测答对人数88772实测难度0.80.80.70.70.2所以，估计120人中有人答对第5题 4分（2）记编号为的学生为，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，共6种 所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为 8分（3）为抽样的10名学生中第题的实测难度，用作为这120名学生第题的实测难度 因为 ，所以，该次测试的难度预估是合理的 12分21. (本小题满分12分) 已知点关于直线的对称点是P，焦点在x轴上的椭圆经过点P，且离心率为（）求椭圆的方程；（）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B探求直线AB是否过定点，如果经过请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由 【解析】（）易求得P（2，1），由椭圆的离心率e=，则a2=4b2，将P（2，1）代入椭圆，则，解得：b2=2，则a2=8，椭圆的方程为：； 6分（）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上， 当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，（1+4k2）x2+8ktx+4t28=0， 则=16（8k2t2+2）0， x1+x2=，x1x2=，又直线PA的方程为y1=（x2），即y1=（x2），因此M点坐标为（0，），同理可知：N（0，），由=，则+=0，化简整理得：（24k）x1x2（24k+2t）（x1+x2）+8t=0，则（24k）（24k+2t）（）+8t=0，化简整理得：（2t+4）k+（t2+t2）=0， 当且仅当t=2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，2）12分22.（本小题满分12分）已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）证明；（3）若方程有两个正实数根，求证：.【解析】（1），所以在点处的切线方程为： 3分（2）设，则 再令，令得或故在单调递增，在单调递减. 而所以在单调递减，在单调递增. 所以，故总成立，所以成立. 8分 （3）因为曲线在处的切点方程为，容易证明，当时， 由第（1）问知，设分别与和的两个交点的横坐标为 则， 所以 12分
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