线性代数常见题型思路

线性代数常见计算题型及常用思路仅供参考！计算题题型1.解线性方程组（必须掌握）最常用方法：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为匕），然 X = k , K , X = kk ,K , k后对自由未知量赋予任意值，即设 1 匕 ，这儿1为任意常数。把赋予自由未知量的值带入方程组，解除方程组的解（是关于的一些表达式）方法（1）的变形：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为 %）。a ,K ,a e FtFt设 1 t是 的一组基（常取自然基）。然后令（X ,K ,X ） =a , j = 1,2,K tX ,K ,X；j，分别解得方程组的解：1t （这是X = kX + L + kX k ,K ,k一个基础解系）。则可知方程组的解为11t t，这儿1 t为任意常数。（一般解）Cramer法则。注意：Cramer法则只对系数矩阵可逆的情形适用。题型2 .将 （F）用K，冬m （F）线性表示（或求坐标）x , K , x = x a + L + x a常用思路：待定系数法。设1m使得 11m m。然后根据题设条件得到关于1，m的一个方程组。解方程组。方法二：利用课本定理4.10 （如果已知在某一组基下的矩阵）题型3 .判断K，吃 （F）的线性相关性x , K , x 0 = x a + L + x a常用思路：待定系数法。设1 m使得 11m m。然后根据题设条件得到关于 1，m的一个方程组。解方程组。如果方程组只有零解，则时,% V（F）线性相关。反乙线性无关。题型4.求以1以m （）的极大无关组及秩x K x 0 = x a + L + x a常用思路：待定系数法。设1 m使得 11m m。然后根据题设条件得到关于1 m的一个方程组。用高斯消元法化简方程组，得到自用未知量。不是自用未知量的所对应的放到一起，就构成了原向量组的一个极大无关组。题型4.求基与维数常用方法：找到一组有限生成元，转化为题型4。题型5.将以1以m F扩充为F降一组基常用思路：首先确定出 1 m 的一个极大无关组，设为a K a e Fn x K x1 。然后设1 n，构建线性方程组1 x1K x）a广 0 L LL（x K x ）a = 01n t（假设1K m 是列向量）然后解除上面方程组的一个基础解系，设为 1 n -t（想想为什么一n-1 a K a X K Xe Fn定有个）。则1 t 1i就是一组基（想想为什么线性无关）题型6. Schmidt正交化过程题型8.线性映射（变换）的矩阵方法一：利用定义，转化为题型2。方法二：利用课本定理7.4 （如果已知在一组基下的矩阵及过渡矩阵）题型9.求矩阵的秩（可考虑放弃）化为一个容易看方法一：基于初等变换不改变矩阵得知，利用初等变换把原矩阵 出秩的矩阵（一般为阶梯形）。方法二：利用分块矩阵。主要基于以下几个公式:方法三：利用秩的一些性质，主：r(A + B) r(A) + r r(AB) minr(A), r (A) = r ( At ) = r (Amaxr(A), r(B) (A,B) r(A) + r(B)r (A) + r (B) = rkB)n + r(B) = r | En 只kB)(A r(A) + r(B) r r(A) + r(B) + r(C)k C B )A B = 0 n r(A) Tr （A） = A方法四：利用的行/列秩，转化为题型4或利用向量组的秩的一些性质r （A） = A方法五：利用的行列式秩方法六：利用线性方程组解的结构，主要基于:dim N(A ) = n - r(A)题型10.求可逆矩阵的逆矩阵a n AX = b X = A-ib方法一：基于可逆的唯一解为，利用线性方程组求解。方法二：基于可逆矩阵可写成初等矩阵的乘积，利用初等变换求解，主要是两个公式:(a, E) - (E, A-1)r e 前者只能用行变换，后者 只能用列变换。VA-1)方法三：利用分块矩阵求解。主要基于两个公式：（假设已知可逆）注意：主对角线上的子块必为可逆方阵。方法四：利用伴随矩阵（一定要细心！）题型11.求行列式（小心符号!）方法一：利用初等变换或课本5.1节的简单性质化为三角阵或其他容易求解的行 列式。方法二：利用公式1 AB |T A11B1（注意必为同型方阵）方法三：利用按行/列展开公式，一般得到递推公式。方法四：前面三者结合。（最为常用）几个必须知道的结论：（1）三角形行列式=对角线元素乘积A（2）C0=1 AII B I B（3）范德蒙行列式题型12.求特征值与特征向量及矩阵对角化（必须掌握）方法：利用特征多项式求特征值，利用求线性方程组的基础解求特征向量。最后 注意：在写出户以及原矩阵的相似标准形时要注意特征向量与特征值是相互对 应的。题型13.实对称矩阵的对角化方法：和题型12 一致，但是要加入Schmidt正交化过程及单位要注意的是：千 万不要把所有的特征向量放在一起Schmidt正交化，一定要分别对每个特征值所 对应的特征向量分别正交化，也就是说：如果有m个不同特征值，要进行m次 Schmidt正交化过程！题型14.求二次型/矩阵相合标准形与相合规范形（必须掌握）方法一：配方法。方法二：初等变化法。（参考课本例题，此两种方法和中学所用的一致）方法三：利用题型12或13,基于正交矩阵的逆矩阵和转置一样。线性代数常见证明题型及常用思路题型1.关于%，K，以彻线性相关性的证明中常用的结论（1）设%气+ L +以广0，然后根据题设条件，通过解方程组 或其他手段：如果能证明X，K，七必全为零，则a-K ,吃线性无 关;如果能得到不全为零的七K，使得等式成立，则气，K，am线 性相关。(2) %K，am线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。(3) 如果a，K ,a e Fn，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。(4 ) 如果我们有两个线性无关组，a ,K ,a e W, P，K , P e W ,且W,W是同一个线性空间的 1m 11t 212竺1次i工两个子空间，要证a1,K ,am, P1,K , Pt线性无关。这种情况下，有 些时候我们设人a + L + 人 a + p P + L + p P = 0,1 1m m 1 1t ta=Xa + L +人 a ,P = p P + L + pP。11mm11tt根据题设条件往往能得到a = p=0，进而由a ,K ,a e W, p ,K ,p e W的线性无关得到系数全为零。 1m11t2 h jj /、I、j 4 4、_$A- i / q y。题型2.关于欧氏空间常用结论（1）内积的定义(2) 单位正交基的定义(3) 设B = aK ,气是单位正交基，u = (x ,K , x ), v = (y ,K , y )则(u, v) = x y + L + x y 5B 1 n B 1 n 。人1 1n n题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论(1) 初等变换不改变矩阵的秩(2) 乘可逆矩阵不改变矩阵的秩（3）阶梯形的秩(4) 几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式r(A + B) r(A) + r(B);r(AB) minr(A),r(B);r ( A) = r ( At ) = r ( At A);(At maxr (A), r (B) r (A, B) = r B l r (A) + r (B);(A r= r (A) + r (B);I B l(A r(A) + r(B) r r(A) + r(B) + r(C);C B lA B = 0 n r(A) + r(B) n(5) 利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例：证明：r(An) + r(B) n + r(AB)。(E二 r I x_、(E证： (E二 r Ann + r (AB) = r n -B ) r(A) + r(B) 0 l上面第二个等号是用A左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第 二行所得；第三个等号是用-B又乘第二个分块矩阵的第一列，然后 加到第二列所得。（6）利用齐次线性方程组解的结构（dim N（Amxn）= n - r（A）, 此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。（7）利用向量组的秩与维数主要是两个结论：（i）矩阵的秩=列秩二行秩（ii）dimker b + dimlm b = dimker b + r（b） = b 的定义域的维数（8）利用行列式秩（9）利用相抵标准形题型4.关于可逆矩阵常用结论（1）结论:A可逆o AX = b有唯一解。1 A* 0。（2）结论:A，B E Mn（F）可逆o AB可逆。（3）结论：A可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。（4）结论:A可逆当且仅当0不是它的特征值。题型5.关于矩阵对角化的常用结论（1）结论：A相似于B o3C皿A = C-1BC。（2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。（3）特征值与特征向量的定义（4）结论：人是A的特征值oI入E - A 1= 0。（5）结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。（6）结论：特征多项式的常数项就是它的行列式，它的第n-1次项 的系数就是对角线上元素之和。（7）结论：AX =XX n Ph3） e Fx,h（A）X = h（人）X。（8）结论：课本P242定理7.8。（9）结论：课本P242推论。（10）结论：课本P243定理7.10。（11）结论：实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。题型6.关于二次型的常用结论：-（1）定义：二次型的矩阵。（2）定义：相合关系。（3）实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。（4）定义：课本P263定义7.12与P269定义7.12（5）实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。（6）结论：课本 P264 定理 7.17、7.18、7.19（7）结论：课本P269定义下面的内容