第五章正态分布与z分数、T分数

第五章正态分布与z分数、T分数第一节正态分布与z分数、正态分布正态分布曲线(Normal是一个单峰曲线，中间高，distribution carve)两边逐渐下两端永远不与横轴相交，降，在正负一个标准差的地方有拐5-1)。它的数学模型公式如下： 点，两侧完全对称的钟形曲线(图正态分布的公式：一般正态分布的公式：(5.1)yk 1乂2(5.2)标准正态分布的公式： 式中，尸：次数或纵线的高度；X ：原始分数；总体平均数；(T :总体标准差；口和e：常数(3.14, 2.718)从公式看出，决定曲线位置和形态的关键数值是分布的平均数口和标P值决定曲线的最高点在横轴上的位置。P值越大曲线在横轴上的位置越向右。6值决定曲线的形状，是高耸还是矮平。凡是符合以上条件的曲线就是 正态曲线，因此有多少对P值和6值的组合就有多少条正态分布曲线。换句话说，任何特定的正态分布的确定的性质是由公式中的和6值决定的。 在为数众多的正态曲线中，有一条正态曲线，平均数P等于0,标准差6等于1,统计中规定它为标准正态曲线，任何一条正态分布曲线都可以转化为标准正态曲线，方法就是将原始分数转变为z分数。z分数图5-1标准正态分布曲线二、z分数z分数也叫标准分数(Standard score)，它是以标准差为尺子去度量z分数就是 某。*羸需距离含有几个标准差 的公式为5.3即：计算z分数的公式X -X z =-S- 式中，X:原始数据；X :平均数；(5.3)z分数是以标准差为单位的离均差。从S:标准差分数的计算可以看出，由于在运算过程中保留了原数据与平均数的差的关系(Xx)，平均数的z分数等于0,其它数值的z分数比平均数大的为正值，比平均数小的为负值。而且，任一原始数据与平均数的差的大小，决定了它的位z分数置。所以，既能表示比其它数大多少或少多少；也可以表 示该数的位置。在统计中，z分数是一个非常重要的z分数，就形成了标准正态分布。标准正态分布有两个性质即z= 0，S 1。指标，当原始分数的分布形态是正态分布时，把所有原始分数都转成标准正态分布曲线下的面积为1,表示数据的整体。正态分布下的任何一段面积占整体的比例，都可以用积分曲线以平均数的方式计算出来。处的纵轴成轴对称。该.50。平均数轴将曲线下面积分为相等的两部分各为点 的z值等于0，整个曲线下的横轴近似为六个标准差，三个正，三个负。统计学家根据 标准正态分布这些特点，已经将正态曲线下的面积计算出来制成正态曲线表，方便研究工作者使用。三、正态分布表正态分布表共分4列：第一、二列：第一列是标准分数z值，它是由原分数转化而来。第二列是从平均 数0到z分数的面积。即从平均数纵线开始到z分数所在之处的纵线之间曲线下的面积。第三、四列为较大部分和较小部分的面积，意思是从整个曲 线下面积来看，除平均数点以外任一个z分数所在点的纵轴，将曲线下的面积分成大 的一块、小的一块。该任何z分数所在行的第三列，第四列的值之和为1。反向查找又可以将百分等级转化为为每一 z z分数。第五列 分数所在点的纵线高度。第二节正态分布表的应用、z分数与正态分布表的应用7 -（ X-X）203分，三解：利用公式5.3数，列于甲、z乙列。201分 乙考生S分别计算出甲和乙得分的仔分在表中计算出甲、甲2.71 z乙2.58。乙的z分数之和。甲为 2.71,乙为2.58, z答：虽然乙的总成绩高于甲，但从甲乙成绩在各科中的地位z分数之例题5-1 :某工厂招工的分数为正态分布，录取分数线为科考试的平均数和标准差列于下表。有甲考生考分之和为考分之和为 203分，问录取谁较为合理？表5-1三科考试成绩科目全体考生甲成绩乙成绩z甲z乙XS语文63870710.881.00数学50661521.830.33操作70870800.001.552/2012032.712.58分析：此题已知全体考生成绩的X、$,又知甲、乙两人的成绩。录取谁就要比较谁在团体中占的地位高，最公平的比较是用标准分比较。和来看，Z甲2.71 z乙2.58，录取甲更为合理。注意有几个关键点的z分数是统计检验中的重要的临界值，即两事物差别显著不显著的分界线。1.65是单侧检验，.05显著水平的临界值；土2.33是单侧检验，.01显著水平的临界值；土1.96是双侧检验，.05显著水平的临界值；2.58是双侧检验，.01显著水平的临界值。统计中常用推论的正确率为95%、99%为推论可靠性的标准。这时推论的错误率仅为.05和.01。常用.05、.01作为检验的显著性水平的概率。当推论正确的可能性置信忆何置借区间小于95%时,常常被认为推论的结果不町靠冬5-2双侧检验的置信区间.05水平二、T分数由于z分数存在正数负数，又有小数，使得z分数在计算和解释实验结果、测验结果时有些不好理解，因此，常要对z分数作一线性变换，即将z转换为T分数，T分数既有z分数的分布状态即标准正态分布又易于理解和解 释。利用线性公式转换：Y = m +k(z)(5.4)式中丫 ：转化后的分数；m、k常数，m为转换后新的分数的平均数，k为转换后新的分数的标准差。T分数就是以平均数为50，标准差为10进行转换后的分数。T =50+l0(z)( 5.5)T分数的本质与z分数一样，保持单位等距，和使数据分布归于标准正态分布。