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函数重点难点突破解题技巧传播八课前集训1若函数的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是_【答案】0或1【解析】试题分析：需要分类讨论：若m=0，则函数为一次函数；若m0，则函数为二次函数由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值试题解析：若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；若m0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数根据题意得：=4-4m=0，解得：m=1故答案为：0或1考点: 1.抛物线与x轴的交点；2.一次函数的性质2如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论： ； ； ； ； ，其中正确的结论为 （注：只填写正确结论的序号）【答案】【解析】试题分析：根据抛物线开口方向得到a0，根据抛物线对称轴为直线x=-=-1得到b=2a，则b0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c0，所以abc0；由x=，y=0，得到a+b+c=0，即a+2b+4c=0；由a=b，a+b+c0，得到b+2b+c0，即3b+2c0；由x=-1时，函数最大小，则a-b+cm2a-mb+c（m1），即a-bm（am-b）试题解析：抛物线开口向上，a0，抛物线对称轴为直线x=-=-1，b=2a，则2a-b=0，所以错误；b0，抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，abc0，所以错误；x=时，y=0，a+b+c=0，即a+2b+4c=0，所以正确；a=b，a+b+c0，b+2b+c0，即3b+2c0，所以正确；x=-1时，函数最大小，a-b+cm2a-mb+c（m1），a-bm（am-b），所以错误故答案为考点: 二次函数图象与系数的关系3已知，求的值.【答案】【解析】解：因为， 所以，从而.所以4当x= 时，的值为零【答案】x=-1.【解析】试题分析：根据分式的值为零，分子等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解试题解析：根据题意得，|x|-1=0且x2+2x-30，由|x|-1=0得：x=1或x=-1由x2+2x-30知x-3或x1故x=-1.考点: 分式的值为零的条件5已知抛物线过两点(m，0)、(n，0)，且，抛物线于双曲线（x0）的交点为（1，d）（1）求抛物线与双曲线的解析式；（2）已知点都在双曲线（x0）上，它们的横坐标分别为,O为坐标原点，记,点Q在双曲线（x0）上，过Q作QMy轴于M，记。求的值【答案】(1)抛物线为，曲线的解析式；（2）2025077.【解析】试题分析：（1）将（m,0）（n,0）代入抛物线，组成方程组求解即可.（2）由点都在双曲线上，可以总结出点的坐标，用a表示，得出规律，求三角形的面积，然后相加即可.试题解析：（1） 解之得c=-2由（2）点都在双曲线（x0）上，它们的横坐标分别为,点的纵坐标为。如图，过、分别作x轴、y轴的平行线则=Q在双曲线上，易求=1.所以=（1+）+（2+）+ +（2011+=1+2+2011+12011=2025077.考点：一元二次函数与反比例函数综合运用.6若n0，关于x的方程x2（m2n）x+mn=0有两个相等的正实数根，求的值【答案】4.【解析】试题分析：由方程有两相等的正实数根知=0，列出关于m，n的方程，用求根公式将n代替m代入求出它的值试题解析：根据题意知=0，即（m-2n）2-mn=0，整理得m2-5mn+4n2=0，即（m-n）（m-4n）=0，解得m=n或m=4n，当m=n时，n0，根据根与系数的关系得：原方程的两个解x1+x2=m-2n=-n0，不合题意原方程两个相等的正实数根，故m=n舍去；当m=4n时，n0，根据根与系数的关系得：原方程的两个解x1+x2=m-2n=2n0，符合题意，=4答：的值是4考点: 根的判别式.7如图，抛物线y=ax2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是2，则关于x的不等式+ax2+10的解集是 【答案】-2x0【解析】试题分析：根据双曲线的对称性求出点A关于原点的对称点的横坐标，再写出双曲线在y=-ax2-1下方部分的x的取值范围即可试题解析: 如图，点A关于原点的对称点的横坐标为-2，所以，不等式+ax2+10，即不等式-ax2-1的解集是-2x0故答案为：-2x0考点: 二次函数与不等式（组）8如图1，已知点D在A上，ABC和ADE都是等腰直角三角形，点M为BC的中点（1）求证：BMD为等腰直角三角形（2）将ADE绕点A逆时针旋转45，如图2中的“BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由（3）将ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图3中的“BMD为等腰直角三角形”是否均成立？说明理由【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出ACB=BAC=45ADE=EBC=EDC=90，推出BM=DM，BM=CM，DM=CM，推出BCM=MBC，ACM=MDC，求出BMD=2BCM+2ACM=2BCA=90即可（2）延长ED交AC于F，求出DM=FC，DMFC，DEM=NCM，根据ASA推出EDMCNM，推出DM=BM即可（3）过点C作CFED，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出MDEMFC，求出DM=FM，DE=FC，作ANEC于点N，证BCFBAD，推出BF=BD，DBA=CBF，求出DBF=90，即可得出答案试题解析：（1）证明：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACB=BAC=45ADE=EBC=EDC=90，点M为BC的中点，BM=EC，DM=EC，BM=DM，BM=CM，DM=CM，BCM=MBC，DCM=MDC，BME=BCM+MBC=2BCE，同理DME=2ACM，BMD=2BCM+2ACM=2BCA=245=90BMD是等腰直角三角形（2）如图2，BDM是等腰直角三角形，理由是：延长ED交AC于F，ADE和ABC是等腰直角三角形，BAC=EAD=45，ADED，ED=DF，M为EC中点，EM=MC，DM=FC，DMFC，BDN=BND=BAC=45，EDAB，BCAB，EDBC，DEM=NCM，在EDM和CNM中EDMCNM（ASA），DM=MN，BMDN，BMD是等腰直角三角形（3） BDM是等腰直角三角形，理由是：如图：过点C作CFED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得MDEMFC，DM=FM，DE=FC，AD=ED=FC，作ANEC于点N，由已知ADE=90，ABC=90，可证得DEN=DAN，NAB=BCM，CFED，DEN=FCM，BCF=BCM+FCM=NAB+DEN=NAB+DAN=BAD，BCFBAD，BF=BD，DBA=CBF，DBF=DBA+ABF=CBF+ABF=ABC=90，DBF是等腰直角三角形，点M是DF的中点，则BMD是等腰直角三角形，考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.直角三角形斜边上的中线；3.等腰直角三角形.9如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。A ByxOC求这个二次函数的表达式；连结PO、PC，在同一平面内把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积【答案】(1) ;(2) (3) P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为.【解析】试题分析：（1）把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函数的解析式；（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3），再根据S四边形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ即可得出结论试题解析：将B、C两点坐标代入得解得：. 所以二次函数的表示式为： 存在点P，使四边形POPC为菱形，设P点坐标为，PP交CO于E，若四边形POPC是菱形，则有PCPO，连结PP，则PEOC于E，OEEC，解得，（不合题意,舍去）P点的坐标为过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P，易得，直线BC的解析式为,则Q点的坐标为FA ByxOCPQ当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为.考点: 二次函数综合题10如图，ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；(2)设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】试题分析：（1）先根据ABDABE，ACDACF，得出EAF=90；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x-2）2+（x-3）2=52，求出AD=x=6试题解析：（1）证明：由题意可得：ABDABE，ACDACFDAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45，EAF=90又ADBCE=ADB=90，F=ADC=90四边形AEGF是矩形，又AE=AD，AF=ADAE=AF矩形AEGF是正方形（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=xBD=2，DC=3BE=2，CF=3BG=x-2，CG=x-3在RtBGC中，BG2+CG2=BC2，（x-2）2+（x-3）2=52化简得，x2-5x-6=0解得x1=6，x2=-1（舍去）所以AD=x=6考点:1. 翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.正方形的判定.11已知：在梯形ABCD中，CDAB，AD=DC=BC=2，AB=4点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从点C出发，沿CDA方向，以每秒1个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动运动时间为t秒，过点N作NQCD交AC于点Q（1）设AMQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围（2）在梯形ABCD的对称轴上是否存在点P，使PAD为直角三角形？若存在，求点P到AB的距离；若不存在，说明理由（3）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使AMQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由【答案】（1）（0t2），（2t4）；（2）；（3）t=，12-6，2.【解析】试题分析：（1）求出t的临界点t=2，分别求出当0t2时和2t4时，S与t的函数关系式即可，（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，分3种情况进行讨论，取AD的中点G，以D为直角顶点，以A为直角顶点，（3）当0t2时，若AMQ为等腰三角形，则MA=MQ或者AQ=AM，分别求出t的值，然后判断t是否符合题意试题解析：（1）当0t2时，如图：过点Q作QFAB于F，过点C作CEAB于E，ABCD，QFCD，NQCD，N，Q，F共线，CQNAFQ， ，CN=t，AF=AE-CN=3-t，NF=，QF=， 当2t4时，如图：FQCPQA，DN=t-2，FD=DNcosFDN=DNcos60=（t-2），FC=CD+FD=2+（t-2）=，FQ=FCtanFCQ=FCtan30=（）=（t+2），PQ=PF-FQ=，；（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，情况一：取AD的中点G，GD=1，过G作GH对称轴于H，GH=1.5，1.51，以P为直角顶点的RtPAD不存在，情况二：以D为直角顶点：KP1=，P1L=，情况三：以A为直角顶点，LP2=，综上：P到AB的距离为时，PAD为Rt，（3）0t2时， 若MA=MQ，则：=，t=，若AQ=AM，则t=，解得t=12-6，若QA=QM，则QMA=30而0t2时，QMA90，QA=QM不存在；2t4（图中）若QA=QM，AP：AD=：2，t=2，若AQ=AM，2-（t+2）=t，t=2-2，2-22，此情况不存在若MA=MQ，则AQM=30，而AQM60不存在综上：t=，12-6，2时，AMQ是等腰三角形考点: 1.等腰梯形的性质；2.等腰三角形的判定；3.直角三角形的性质.
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