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5：二次曲线的位置的确定,前面我们已经学过了，从二次曲线的一般方程，确定二次曲线的标准方程，从 而确定二次曲线的类型和形状. 今天，我 们将要学习， 如何从二次曲线的一般方程，确定二次曲线的位置.,标准坐标系是通过先转轴消掉混乘项，再移轴，把坐标原点移到对称中心或者是顶点的办法来得到的.,中心型曲线位置的确定（ ）：,确定中心型曲线的对称轴和对称中心,满足这样条件的 有两个，二者可以相差,非退化的情形,确定坐标轴的方向，只需要 确定 轴到 轴的角度 就 可以了.,中心型曲线的标准方程（在坐标系 ）,规定椭圆的长轴在 轴，即 ； 而双曲线的实轴在 轴，即 同号； 从而就可以确定,退化的情形,5 二次曲线与直线的相关位置,讨论二次曲线,与直线,的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程,对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：,二次曲线的渐近方向,定义 满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向.,定义 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的， 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的， 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的.,即1)椭圆型：I20 2)抛物型： I20 3)双曲型： I20,2. 二次曲线的中心与渐近线,定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心.,定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：,推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.,二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：,如果I20，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心坐标,如果I20，分两种情况：,定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线.,定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线.,定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上 成为二次曲线的组成部分.,6：不变量的概念,二次曲线的形状，取决于方程的标准形式，它由 完全确定.,坐标系 中的多项式,任意做一个坐标变换，把 变成 变成下面的,问题是 是否成立?,要证明：,只要证明：,（1）,（2）,（3）,(4),定理：经过任意的直角坐标变换 不变，当 时， 也不变.,由 的系数确定的函数，如果在任意的直角坐标变换下不变，就叫做 的不变量.,在转轴下不变，但在移轴下会改变，所以，不是不变量，通常叫做半不变量.,Klein的埃尔朗根纲领：,每一种几何学研究的都是图形在某个特定的变换群之下不变的性质.,
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