《多边形的内角和与外角和》教案 (省优)2022年华师大版数学教学设计

9.2 多边形的内角和与外角和教学目标【知识与技能】1.理解多边形的概念和正多边形的概念.2.了解多边形的内角、外角、对角线等概念.3、在熟悉和掌握多边形内角和定理的根底上， 推理并掌握多边形的外角和定理.【过程与方法】经历质疑、猜测、归纳等活动，开展学生的推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会 与人合作，学会和别人交流自己的思想和方法.【情感态度】让学生体验猜测得到证实的喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充 满着探索和创造.教学重难点【教学重点】多边形内角和定理的探索和应用.【教学难点】多边形的内角和，外角和定理的推导.课前准备课件教学过程一、情境导入，初步认识什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是 怎样表示呢？【教学说明】把学生的注意力自然的引入研究方向，为课题的研究做铺垫.二、思考探究，获取新知探究 1 多边形的概念三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：ABC.四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形 . 记作：四边形 ABCD.五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：五边形 ABCDE. 一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n 边形，又称为多 边形.注意：我们现在只研究多边形，如图(2)，(3)；图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围.与三角形类似，如图(5)所示，A、D、C、ABC 是四边形 ABCD 的四个内角，CBE 和ABF 都是与ABC 相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角.探究 2 正多边形如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.如：正三角形、正四边形正方形、正五边形等.连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.探究 3 多边形的内角和我们知道三角形的三个内角和是 180 度，那么四边形、五边形、六边形的内角和是多少？ 由以下列图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为假设干个三角形， 我们一个三角形的内角和等于 180 度，这样我们就可以求出多边形的内角和.根据我们的分析，完成下表：由此，我们可以得出：【归纳结论】n 边形的内角和为(n-2)180.探究 4 多边形对角线的条数你能根据上面的分析，总结出多边形对角线的条数吗？分析：n 边形从一个顶点可以画出n-3 条对角线，n 边形共有 n 个顶点，这样 n 边形一 共可以画 nn-3条对角线，但是每条对角线计算了两遍，所以n 边形一共有 n(条对角线. 探究 5 多边形的外角和与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两 个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.如图(1)四边形 ABCD，1、2、3、4 分别是四个外角，求：1+2+3+4 的度数. 因为1+DAB=2+CBA=3+DCB=4+ADC=180又因为DAB+CBA+DCB+ADC=360四边形内角和等于 360所以1+2+ 3+4=360.所以四边形的外角和等于 360.根据 n 边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得 n 边形的外角和，填 表：【归纳结论】任意多边形的外角和都为 360.【教学说明】我们是把多边形的问题转化成三角形，再由三角形内角和为180，求出多边 形内角和与外角和，从而使问题得到解决！三、运用新知，深化理解1.如果一个多边形的内角和是它的外角和的 3 倍，那么这个多边形是 2，那么 n 为 A.6B.7C.81，那么这个多边形是 A.正六边形C.正十边形度，四个内角中最多可有 个锐角.356，那么这个四边形各内角顺次是 度.6.多边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的.求这个多边形的边数.7.(1)一个多边形的内角和等于 2340，求它的边数；(2)一个正多边形的一个内角为 150，你知道它是几边形吗？，求这个正多边形的边数.9.(1)四边形有几条对角线？(2)五边形有几条对角线？六边形呢？n 边形呢？，求(1)这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数. 【教学说明】复习今天所学，了解学生学习效果.【答案】4.360, 35.24，72，120，1446. 67.解：(1)设边数为 n，那么有(n-2)180=2340n-2=13, n=15；(2)设这个多边形为 n 边形，那么有(n-2)180=150nn=12这个多边形是十二边形.8.分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是 360. 解：设一个外角为 x，那么内角为(x+36)因为多边形的内角与相邻的外角互补；所以 x+x+36=180解得 x=7236072=5答：这个多边形是五边形.9.解：(1)四边形有两条对角线.(2)如图 2，以 A 为顶点的对角线有两条 AC、AD 同样以 B 为端点的对角线也有 2 条，以 C 为 端点也有 2 条，但 AC 与 CA 是同一条线段，以 D 为端点的两条 DA、DB 与 AD、BD 分别表示同 一条线段，所以只有 5 条，以此类推六边形有 9 条对角线，从以上分析可知从 n 边形的一个 顶点引对角线，可以引(n-3)条，那么 n 个顶点就有 n(n-3)条，但其中每一条都重复计算一 次，所以 n 边形一共有条对角线.10.解：(1)(n-2)180=1440n=10(2)n-3=10-3=7答：这个多边形是十边形，过一个顶点的对角线有 7 条，共有 35 条对角线.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业1.布置作业:教材第 88 页“习题 9.2中第 1 、2、3 题.2.完成练习册中本课时练习.五、教学反思本节课通过把多边形划分成假设干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得 到多边形的内角和公式为(n-2)180，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为 外角和来处理.通过练习情况来看学生本节课掌握的较好.第 2 课时三角形的三边关系1掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；2探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决问题(难点) 一、情境导入数学来源于生活，生活中处处有数学观察下面的图片，你发现了什么？问：你能不能给三角形下一个完整的定义？二、合作探究探究点一：三角形按边分类以下关于三角形按边分类的集合中，正确的选项是( )解析：不等边三角形三角形根等腰三只有两边相等的三角形据边分类 角形 三边相等的三角形等边三角形应选 D.方法总结：三角形按边分类，分成不等边三角形与等腰三角形，知道等边三角形是特殊的等腰三角形是解此题的关键探究点二：三角形中三边之间的关系【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以以下各组线段为边，能组成三角形的是( )A2cm，3cm，5cm B5cm，6cm，10cmC1cm，1cm，3cm D3cm，4cm，9cm解析：选项 A 中 235，不能组成三角形，故此选项错误；选项 B 中 5610，能 组成三角形，故此选项正确；选项C 中 113，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中 349，不能组成三角形，故此选项错误应选 B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三 条线段的长度即可【类型二】 判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为 4，7，x，那么 x 的取值范围是( )A3x11 B4x7C3x11 Dx3解析：三角形的三边长分别为 4，7，x，74x74，即 3xA.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第 三边【类型三】 三角形三边关系与绝对值的综合假设 a，b，c 是ABC 的三边长，化简|abc|b ca|cab|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对 值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得 abc0，bca0，c ab0.|abc|bca|cab|bcacabcab3cab.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简三、板书设计1三角形按边分类：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，三边互不相 等的三角形是不等边三角形2三角形中三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个 三角形引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重 点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系通过观察、验证、再操作，最终发 现三角形任意两边之和大于第三边这一结论这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习 兴趣，又增强了学生的动手能力